8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения.
8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы приступим к изучению очень важной темы. Мы научимся решать различныетекстовые задачи, которые сводятся к квадратным уравнениям. Мы будем рассматриватьрациональные уравнения как модели реальных ситуаций. Начнем мы с решения различных задач на движение.
1 этап (составление математической модели) в задачах на движение
Мы уже знаем, что рациональные уравнения могут служить моделями реальных ситуаций. Но раньше эти ситуации сводились к линейным уравнениям. Сейчас мы рассмотрим ситуации, которые сводятся к решению квадратных уравнений.
Рассмотрим задачу на движение.
Задача 1
Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 минут, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 
, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 минут. С какой скоростью должен был пройти поезд перегон по расписанию?
Решение:
Решение задачи сводится к нескольким этапам.
1 этап – Составление математической модели
По расписанию: пусть 
– скорость поезда по расписанию. Длина перегона: 
. Для равномерного прямолинейного движения верна формула:
Тогда время, за которое поезд должен был пройти перегон по расписанию, выражается следующим образом: 
.
Фактически: скорость поезда была увеличена, то есть была равна 
. Длина перегона осталась той же: .
Тогда время, за которое поезд реально проехал перегон, выражается следующим образом: 
.
Разность между временем по расписанию и фактическим временем и равна тем 5 минутам, которые простоял поезд на семафоре. Кроме того, важно помнить, что поскольку все величины в задаче измеряются в километрах и часах, то и минуты необходимо перевести в часы. Важно помнить, что 
. Получаем следующее уравнение:
2 этап (работа с математической моделью) в задачах на движение
2 этап – Работа с математической моделью
Решим полученное уравнение: 
. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, а затем приведем их к общему знаменателю.
Умножим обе части уравнения на 
, получим: 
Данное уравнение эквивалентно следующей системе:
Выпишем коэффициенты первого уравнения: 
. Вычисляем дискриминант: 
.
Тогда корни уравнения будут следующими: 
. Оба этих числа удовлетворяют второму неравенству нашей системы.
3 этап (ответ на поставленный вопрос) в задачах на движение
3 этап – Ответ на вопрос задачи
Так как за 
мы обозначали скорость, а скорость не может быть отрицательной, то единственным вариантом ответа остается 80 .
Ответ: 
.
Таблица для решения текстовых задач
Выполнив все три этапа, мы: получили математическую модель; решили полученное уравнение; отобрали корни, которые нам нужны.
Как видно из решения данной задачи, самый сложный этап – составление математической модели.
В этом может помочь следующая таблица (в нашей задаче 1 участник – поезд, но 2 случая: фактическое движение и движение по расписанию):
|
|
|
|
|
|
Планируемое движение |
|
|
|
|
Фактическое движение |
|
|
|
Данная таблица помогает осмыслить задачу и составить соответствующее уравнение.
Пример решения задачи на движение по реке
Рассмотрим еще один пример.
Задача 2
Пристани А и В расположены по реке, причем В на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 часов 20 минут. За какое время катер проходит путь из А в В и за какое – из В в А, если его скорость в стоячей воде равна 
?
Решение
Пусть 
– скорость течения реки, тогда:
– скорость по течению реки;
– скорость против течения реки.
Путь, который проходит катер между пристанями, равен 
. То есть, 
.
Тогда время, которое затратит катер на движение по течению реки, равно:
Против течения:
Общее время вычисляется по формуле:
.
Получаем следующее уравнение:
Это уравнение легко решается (переносим все выражения в левую часть, приводим их к общему знаменателю):
Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения равна 
.
Тогда время, которое катер потратил на движение по течению реки: 
.
А время, которое катер потратил на движение против течения реки: 
.
Составим таблицу для данной задачи:
|
|
|
|
|
|
По течению реки: |
|
|
|
|
Против течения реки: |
|
|
|
С помощью этой таблицы также можно легко составить уравнение для решения данной задачи.
На этом уроке мы научились составлять математические модели для задач на движение.
На следующем уроке мы научимся моделировать и другие текстовые задачи.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/ratsionalnye-uravneniya-kak-modeli-realnyh-situatsiy-zadachi-na-dvizhenie?konspekt&chapter_id=16
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=2jfj3CPOJfI