11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

Функция y= ⁿ√x, где n-чётное число (см. изображение)....

Комментарии преподавателя

 1. Определение корня n-й степени, существование функций вида 

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-ой сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а при чет­ном n на­зы­ва­ют такое неот­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает в ре­зуль­та­те число a.

На­при­мер: , т. к. , т. к. 

Из опре­де­ле­ния сле­ду­ет важ­ный вывод:

На мно­же­стве зна­че­ний  су­ще­ству­ет функ­ция  при , т. е. при любом на­ту­раль­ном n, не рав­ном еди­ни­це.

Вспом­ним, что на­зы­ва­ет­ся функ­ци­ей.

 2. Функция у=х, теорема о симметрии графиков функций

Опре­де­ле­ние:

Функ­ци­ей на­зы­ва­ет­ся закон со­от­вет­ствия, по ко­то­ро­му каж­до­му зна­че­нию ар­гу­мен­та х ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ное зна­че­ние функ­ции у.

Рас­смот­рим ис­сле­ду­е­мую функ­цию при 

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Оче­вид­но, что пред­став­лен­ный гра­фик (Рис. 1.) про­хо­дит через точки (1;1), (4;2), (9;3) и т. д.

Чтобы из­ба­вить­ся от корня, воз­ве­дем функ­цию в квад­рат, на­ло­жив усло­вие на у:

Рас­смот­рим две функ­ции. Пер­вая –  при , гра­фик ее – это часть па­ра­бо­лы. Вто­рая функ­ция –  при , это также часть па­ра­бо­лы. Дан­ные ветви па­ра­бол сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой . гра­фи­ки имеют две общие точки: (0;0) и (1;1). На ветви па­ра­бо­лы  лежат точки с ко­ор­ди­на­та­ми , на ветви па­ра­бо­лы  – точки с ко­ор­ди­на­та­ми . Эти точки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой . Рис. 2.

Рис. 2. Гра­фи­ки функ­ций  и 

Тео­ре­ма:

Точки А(а;b) и В(b,a) сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой .

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим чер­теж (ри­су­нок 3). Ко­ор­ди­на­ты точки А озна­ча­ют, что пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  имеет ка­те­ты а и b. Ана­ло­гич­но тре­уголь­ник  имеет те же самые ка­те­ты. Таким об­ра­зом, рас­смот­рен­ные тре­уголь­ни­ки равны, и из их ра­вен­ства сле­ду­ет ра­вен­ство углов 1 и 2 и ра­вен­ство ги­по­те­нуз ОА и ОВ. На­пом­ним, что пря­мая  яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, от­сю­да углы  и  со­став­ля­ют по , таким об­ра­зом, углы 3 и 4 равны (т. к. равны углы 1 и 2). От­сю­да ОН – бис­сек­три­са в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке . Бис­сек­три­са, как из­вест­но, яв­ля­ет­ся осью сим­мет­рии для всего тре­уголь­ни­ка, в том числе и для ин­те­ре­су­ю­щих нас точек А и В.

Рис. 3. Чер­теж к тео­ре­ме

До­ка­зан­ная тео­ре­ма поз­во­ля­ет сде­лать вывод для лю­бо­го n:

Гра­фик функ­ции  при  сим­мет­ри­чен гра­фи­ку функ­ции  при  от­но­си­тель­но пря­мой .

Рис. 4. Обоб­ще­ние тео­ре­мы

 3. Свойства функции при четных n

Вер­нем­ся к функ­ции . Про­чтем ее гра­фик и пе­ре­чис­лим ос­нов­ные свой­ства.

1.      Если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до бес­ко­неч­но­сти, то функ­ция также воз­рас­та­ет от нуля до бес­ко­неч­но­сти и про­хо­дит через точки (0;0), (1;1) при любом n;

2.      Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

3.      Функ­ция об­ще­го вида (не яв­ля­ет­ся чет­ной либо нечет­ной);

4.      Функ­ция воз­рас­та­ет на луче ;

5.      Не огра­ни­че­на свер­ху, но огра­ни­че­на снизу;

6.      Не имеет наи­боль­ше­го зна­че­ния, но имеет наи­мень­шее зна­че­ние ;

7.      Непре­рыв­на;

8.      Об­ласть зна­че­ний: ;

9.      Вы­пук­ла вверх на луче . Это озна­ча­ет, что мы можем взять про­из­воль­ные точки А и В на гра­фи­ке, со­еди­нить их от­рез­ком и со­дер­жа­щий­ся между этими точ­ка­ми кусок гра­фи­ка будет на­хо­дить­ся над от­рез­ком;

10.  Функ­ция имеет про­из­вод­ную при любом х боль­шем нуля; при  функ­ция не имеет про­из­вод­ной, ка­са­тель­ной в этой точке яв­ля­ет­ся ось у.

 4. График и свойства функции

Рас­смот­рим функ­цию 

Рис. 5. Гра­фик функ­ции 

До­ка­жем, что дан­ная функ­ция нечет­ная:

Итак, функ­ция  нечет­ная, ее гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

Гра­фик функ­ции про­хо­дит через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)

Функ­ция ка­са­ет­ся оси у.

Ана­ло­гич­ны­ми свой­ства­ми и осо­бен­но­стя­ми об­ла­да­ют функ­ции  при любом нечет­ном n.

 5. Решение примеров

При­мер 1: по­стро­ить схе­ма­ти­че­ски гра­фик функ­ции 

По­стро­е­ние:

1.      Стро­им гра­фик функ­ции , он про­хо­дит через точки (0;0) и (1;1);

2.      Сдви­га­ем по­лу­чен­ную кри­вую на две еди­ни­цы впра­во, гра­фик про­хо­дит через точки (2;0), (3;1);

Рис. 6. Гра­фик функ­ции, при­мер 1

При­мер 2: по­стро­ить схе­ма­ти­че­ски гра­фик функ­ции 

По­стро­е­ние:

1.      По­стро­им гра­фик функ­ции , он про­хо­дит через точки (0;0), (1;1), (-1;-1);

2.      Сдви­нем по­лу­чен­ную кри­вую на одну еди­ни­цу влево, новый гра­фик про­хо­дит через точки (-1;0), (0;1), (-2;-1)

Рис. 7. Гра­фик функ­ции, при­мер 2

Изу­ча­е­мые функ­ции имеют много общих свойств, но каж­дая из них един­ствен­на и непо­вто­ри­ма. Для при­ме­ра рас­смот­рим вза­им­ное рас­по­ло­же­ние двух кри­вых: . Рис. 2.

Пока х из­ме­ня­ет­ся от нуля до еди­ни­цы, кри­вая  на­хо­дит­ся над кри­вой , в точке (1;1) кри­вые пе­ре­се­ка­ют­ся и далее ме­ня­ют свое рас­по­ло­же­ние, когда х ме­ня­ет­ся от еди­ни­цы до плюс бес­ко­неч­но­сти, кри­вая  на­хо­дит­ся над кри­вой .

Опи­сан­ное рас­по­ло­же­ние можно опи­сать так:

При­мер 1:

но

При­мер 2:

но

Рис. 2. Вза­им­ное рас­по­ло­же­ние гра­фи­ков функ­ций 

 6. Функция y=ⁿ√x при нечетных n, свойства в общем и частных случаях

Пе­рей­дем к функ­ци­ям  для нечет­но­го n, т. е. функ­ци­ям  и т. д., при­чем в дан­ном слу­чае  и . Рис. 3.

Рис. 3. Гра­фик функ­ции  для нечет­но­го n, 

Если ар­гу­мент ме­ня­ет­ся от минус бес­ко­неч­но­сти до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от минус бес­ко­неч­но­сти до плюс бес­ко­неч­но­сти.

Ос­нов­ные свой­ства рас­смат­ри­ва­е­мых функ­ций:

1.      Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

2.      Об­ласть зна­че­ний: ;

3.      Гра­фи­ки функ­ций про­хо­дят через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)

4.      Функ­ции нечет­ные, гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат;

5.      Функ­ции воз­рас­та­ют от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти.

Рас­смот­рим вза­им­ное рас­по­ло­же­ние двух кри­вых: . Рис. 4.

Рис. 4. Вза­им­ное рас­по­ло­же­ние гра­фи­ков функ­ций 

На участ­ке  кри­вая  на­хо­дит­ся выше кри­вой , од­на­ко когда  кри­вые рас­по­ла­га­ют­ся на­о­бо­рот,  рас­по­ло­же­на выше :

 

 7. Решение типовых задач

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство:

Чтобы найти ре­ше­ние нера­вен­ства, нужно узнать знак числа, сто­я­ще­го в скоб­ках. По­сколь­ку зна­че­ние си­ну­са лю­бо­го угла мень­ше еди­ни­цы, раз­ность в скоб­ках будет иметь знак минус. Ис­хо­дя из этого, по­лу­ча­ем ре­ше­ние нера­вен­ства: .

Рас­смот­рим одну из ти­по­вых задач для функ­ции  для чет­но­го n.

При­мер 4: най­ди­те об­ласть зна­че­ний функ­ции  на ин­тер­ва­ле .

Ре­ше­ние ос­но­вы­ва­ет­ся на свой­стве дан­ной функ­ции, а имен­но ее мо­но­тон­ном воз­рас­та­нии. Най­дем зна­че­ния в гра­ни­цах ин­тер­ва­ла:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ: .

Ана­ло­гич­ная за­да­ча су­ще­ству­ет для функ­ции  при нечет­ном n.

При­мер 5: най­ди­те об­ласть зна­че­ний функ­ции  на ин­тер­ва­ле 

Дан­ная функ­ция также имеет свой­ство мо­но­тон­но воз­рас­тать при воз­рас­та­нии ар­гу­мен­та.

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру най­дем зна­че­ния функ­ции в гра­нич­ных точ­ках и по­лу­чим ответ.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ: .

По­доб­ные за­да­чи до­пус­ка­ют раз­лич­ные фор­му­ли­ров­ки, рас­смот­рим одну из них.

При­мер 6: най­ди­те наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на ин­тер­ва­ле .

Ответ оче­ви­ден: наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ция до­сти­га­ет при наи­мень­шем зна­че­нии ар­гу­мен­та, т. е. , наи­боль­шее зна­че­ние со­от­вет­ству­ет наи­боль­ше­му зна­че­нию х, но наш ин­тер­вал за­кан­чи­ва­ет­ся круг­лой скоб­кой, по­это­му наи­боль­ше­го х, а зна­чит, и наи­боль­ше­го у, не су­ще­ству­ет.

При­мер 7: ре­шить урав­не­ние гра­фи­че­ски.

Раз­би­ва­ем за­дан­ное урав­не­ние на две функ­ции:

Свой­ства дан­ных функ­ций нам из­вест­ны, пер­вая мо­но­тон­но воз­рас­та­ет и обя­за­тель­но про­хо­дит через три из­вест­ные нам точки, вто­рая мо­но­тон­но убы­ва­ет, по­это­му если дан­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ние, то оно един­ствен­ное.

По­стро­им за­дан­ные функ­ции:

Рис. 5. Гра­фи­ки функ­ций  и 

Оче­вид­но, что ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся точка с ко­ор­ди­на­та­ми (1;1). Вы­пол­ним про­вер­ку:

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли ко­рень урав­не­ния: .

При­мер 8: най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции.

Мы пом­ним, что под кор­нем чет­ной сте­пе­ни долж­но сто­ять толь­ко по­ло­жи­тель­ное вы­ра­же­ние, в то время как на ко­рень нечет­ной сте­пе­ни ни­ка­ких огра­ни­че­ний не на­кла­ды­ва­ет­ся. По­лу­ча­ем нера­вен­ство:

Умно­жим нера­вен­ство на минус еди­ни­цу, по­лу­чим:

По­лу­чи­ли нера­вен­ство в стан­дарт­ном виде, вы­пи­шем и по­яс­ним его ре­ше­ния:

Рис. 6. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства квад­рат­но­го нера­вен­ства

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли ответ: .

При­мер 9: найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции.

Пом­ним, что под кор­нем чет­ной сте­пе­ни может сто­ять толь­ко неот­ри­ца­тель­ное число:

Рис. 7. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства квад­рат­но­го нера­вен­ства

Опре­де­лим, в каких пре­де­лах из­ме­ня­ет­ся под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние . Неслож­но найти, что оно при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу [0;1].

Рас­смот­рим функ­цию . Дан­ная функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, по­это­му сво­е­го мак­си­му­ма до­стиг­нет при мак­си­маль­ном зна­че­нии х, т. е. по­лу­ча­ем:

.

При­мер 10: по­стро­ить гра­фик и найти об­ласть зна­че­ний функ­ции.

Рис. 8. Гра­фи­ки функ­ций, при­мер 10

Пер­вая функ­ция  при  убы­ва­ет от двух до нуля. Вто­рая функ­ция  при  воз­рас­та­ет от нуля до еди­ни­цы.

Итак, если ар­гу­мент ме­ня­ет­ся в за­дан­ных пре­де­лах , функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ния на ин­тер­ва­ле от нуля до двух, таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ: об­ласть зна­че­ний функ­ции .

Свой­ства функ­ции лежат в ос­но­ве ре­ше­ния раз­лич­ных задач с па­ра­мет­ром, рас­смот­рим одну из них.

При­мер 11: найти число кор­ней урав­не­ния с па­ра­мет­ром.

При­чем 

На­пом­ним, что ре­ше­ние за­да­чи с па­ра­мет­ром под­ра­зу­ме­ва­ет пе­ре­брать все воз­мож­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра и для каж­до­го из них ука­зать ответ.

Для ре­ше­ния по­доб­ных задач можно при­ме­нять сле­ду­ю­щий ал­го­ритм:

1.      По­стро­ить гра­фик функ­ций;

Гра­фик уже был по­стро­ен в преды­ду­щем при­ме­ре, см. ри­су­нок 8.

2.      Рас­сечь гра­фик се­мей­ством пря­мых , найти точки пе­ре­се­че­ния и вы­пи­сать ответ;

Вы­пол­ним рас­се­че­ние:

Рис. 9. Рас­се­че­ние гра­фи­ка пря­мы­ми вида 

Ис­хо­дя из ри­сун­ка 9, вы­пи­шем ответ:

Урав­не­ние не имеет кор­ней при: 

Урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень при: .

Урав­не­ние имеет два корня при: .Итак, мы по­вто­ри­ли свой­ства функ­ций  для всех зна­че­ний n, по­стро­и­ли гра­фи­ки и ис­сле­до­ва­ли их. Кроме того, мы на­учи­лись ре­шать раз­но­об­раз­ные ти­по­вые за­да­чи, поль­зу­ясь свой­ства­ми изу­ча­е­мых функ­ций.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/funktsii-y-8730-x-sup-n-sup-ih-svoystva-i-grafiki

http://www.youtube.com/watch?v=elSLtNLCF64

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/funktsii-y-8730-x-sup-n-sup-ih-svoystva-i-grafiki-zadachi

  1. https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/332-samostoyatelnaya-rabota-po-teme-funktsii-ikh-svojstva-i-grafiki-11-klass.html

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы