11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

Комментарии преподавателя

1. Опре­де­ле­ния корня n-й сте­пе­ни для чет­но­го и нечет­но­го n

На­пом­ним и про­ком­мен­ти­ру­ем ос­нов­ные опре­де­ле­ния.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-ой сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а при чет­ном n на­зы­ва­ют такое неот­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает в ре­зуль­та­те число a.

, где 

Рис. 1. Гра­фик функ­ций  и 

Урав­не­ние имеет 2 корня:  и .

Дан­ная функ­ция, как и любая дру­гая, пре­сле­ду­ет две за­да­чи. Пря­мая за­да­ча: по за­дан­но­му зна­че­нию х, под­ста­вив его в функ­цию, найти зна­че­ние у. Об­рат­ная за­да­ча: по за­дан­но­му зна­че­нию у (у толь­ко неот­ри­ца­тель­ное) опре­де­лить зна­че­ние х, при этом по­лу­ча­ем два корня, один из ко­то­рых неот­ри­ца­тель­ный и носит на­зва­ние ариф­ме­ти­че­ско­го корня.

На­пом­ним важ­ное тож­де­ство: 

Рас­смот­рим при­ме­ры:

1.      , т. к. ; 2. 

Мы рас­смот­ре­ли ко­рень чет­ной сте­пе­ни из дей­стви­тель­но­го числа, и в этом слу­чае под­ко­рен­ное число а обя­за­но быть неот­ри­ца­тель­ным. Но оно может быть от­ри­ца­тель­ным в том слу­чае, если сте­пень корня нечет­ная.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем нечет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го числа а при  на­зы­ва­ют такое от­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое, бу­дучи воз­ве­де­но в сте­пень n, дает в ре­зуль­та­те число а.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции , где 

Дан­ная функ­ция  имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, то есть до­сти­га­ет лю­бо­го сво­е­го зна­че­ния при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та, при­чем если зна­че­ние функ­ции от­ри­ца­тель­ное, то и со­от­вет­ству­ю­щее ему зна­че­ние ар­гу­мен­та тоже от­ри­ца­тель­ное, и на­о­бо­рот, по­ло­жи­тель­но­му зна­че­нию функ­ции со­от­вет­ству­ет по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

, т. к. ; 2. , т. к. ;

2. След­ствия из опре­де­ле­ний

Рас­смот­рим важ­ные след­ствия из опре­де­ле­ний.

След­ствие 1:

Ко­рень чет­ной сте­пе­ни неот­ри­ца­те­лен и су­ще­ству­ет толь­ко от неот­ри­ца­тель­но­го числа.

При­ме­ры:

, т. к. ; 2.  не су­ще­ству­ет, т. к. ; 3. , нет ре­ше­ний, т. к. по­сколь­ку су­ще­ству­ет вы­ра­же­ние , то оно неот­ри­ца­тель­ное; 4. , т. к. ;

След­ствие 2:

Ко­рень нечет­ной сте­пе­ни су­ще­ству­ет для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го числа а .

При­ме­ры:

, т. к. ; 2. , т. к. ; 3. , т. к. ;

3. Опре­де­ле­ние ир­ра­ци­о­наль­но­го урав­не­ния, про­стей­шие при­ме­ры

Рас­смот­рен­ные опре­де­ле­ния и след­ствия при­ме­ня­ют­ся при ре­ше­нии раз­лич­ных задач, в том числе ир­ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний.

Опре­де­ле­ние:

Урав­не­ние, в ко­то­ром под зна­ком корня со­дер­жит­ся неиз­вест­ное, на­зы­ва­ет­ся ир­ра­ци­о­наль­ным.

При­ме­ры:

1.      ; ответ: ;

2.      ; ответ: ;

3.      

ответ: 

4.      ; ответ: 

Рас­смот­рим более слож­ные вы­ра­же­ния, а имен­но урав­не­ния вида . Чтобы ре­шать по­доб­ные урав­не­ния, нужно обе части воз­во­дить в квад­рат, но для этого нужно вы­пол­не­ние неко­то­рых усло­вий и со­блю­де­ние огра­ни­че­ний. Зна­че­ние квад­рат­но­го корня долж­но быть неот­ри­ца­тель­ным, от­сю­да . Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние также долж­но быть неот­ри­ца­тель­но, т. е. . После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем 

Ис­хо­дя из по­след­не­го ра­вен­ства вы­ра­же­ние  в эк­ви­ва­лент­ной си­сте­ме из­лишне, таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем эк­ви­ва­лент­ную для урав­не­ния  си­сте­му:

По­лу­чи­ли сме­шан­ную си­сте­му, со­сто­я­щую из урав­не­ния и нера­вен­ства. В по­доб­ных слу­ча­ях ре­шать нера­вен­ство необя­за­тель­но, до­ста­точ­но ре­шить урав­не­ние и его корни про­ве­рить по пер­во­му усло­вию (нера­вен­ству).

При­мер:

Решим пер­вым спо­со­бом, то есть с по­мо­щью эк­ви­ва­лент­ной си­сте­мы:

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Решим квад­рат­ное урав­не­ние, на­при­мер с по­мо­щью тео­ре­мы Виета, по­лу­ча­ем:

Со­глас­но пер­во­му усло­вию от­бра­сы­ва­ем лиш­ний ко­рень, по­лу­ча­ем ответ .

Решим вто­рым спо­со­бом, воз­ве­дем обе части в квад­рат, не на­кла­ды­вая ни­ка­ких до­пол­ни­тель­ных усло­вий:

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние:

Корни дан­но­го урав­не­ния мы уже опре­де­ли­ли:

Вы­пол­ним про­вер­ку, под­ста­вив каж­дый ко­рень в ис­ход­ное урав­не­ние:

Квад­рат­ный ко­рень не может иметь от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние, зна­чит, ко­рень  не под­хо­дит, не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния.

По­лу­чи­ли ответ: 

Вы­пол­ним неболь­шой ана­лиз, чтобы в даль­ней­шем предо­сте­речь­ся от ти­по­вых оши­бок.

а) , т. е. из ра­вен­ства квад­ра­тов чисел еще не сле­ду­ет ра­вен­ство самих чисел;

б) , т. е. из ра­вен­ства квад­ра­тов не все­гда сле­ду­ет ра­вен­ство ис­ход­ных чисел;

Вывод: после воз­ве­де­ния в квад­рат и ре­ше­ния ир­ра­ци­о­наль­но­го урав­не­ния, необ­хо­ди­мо вы­пол­нить про­вер­ку под­ста­нов­кой по­лу­чен­ных кор­ней в ис­ход­ное урав­не­ние.

4. Ре­ше­ние более слож­ных ир­ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний

При­мер:

Ре­ша­ем пер­вым спо­со­бом:

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Решим квад­рат­ное урав­не­ние, на­при­мер с по­мо­щью тео­ре­мы Виета, по­лу­ча­ем:

Со­глас­но пер­во­му усло­вию от­бра­сы­ва­ем лиш­ний ко­рень, по­лу­ча­ем ответ .

Рас­смот­рим при­мер урав­не­ния на ко­рень нечет­ной сте­пе­ни:

Воз­во­дим обе части в куб:

Раз­ло­жим вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли:

7x(х2 - 1) = 7х(х - 1)(х + 1) = 0

При­рав­няв каж­дый мно­жи­тель к нулю, по­лу­ча­ем корни за­дан­но­го урав­не­ния: 

Итак, на дан­ном уроке мы по­вто­ри­ли опре­де­ле­ния для корня n-ой сте­пе­ни из дей­стви­тель­но­го числа, ре­ши­ли неко­то­рые за­да­чи и урав­не­ния. На сле­ду­ю­щем уроке мы озна­ко­мим­ся с функ­ци­я­ми .

 

Спи­сок ли­те­ра­ту­ры

  1. Морд­ко­вич А.Г. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. – М.: Мне­мо­зи­на.
  2. Му­ра­вин Г.К., Му­ра­ви­на О.В. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. – М.: Дрофа.
  3. Кол­мо­го­ров А.Н., Аб­ра­мов А.М., Дуд­ни­цын Ю.П. и др. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. – М.: Про­све­ще­ние.

 

До­пол­ни­тель­ные ре­ко­мен­до­ван­ные ссыл­ки на ре­сур­сы сети Ин­тер­нет

  1. Terver.​ru (Ис­точ­ник).
  2. Uztest.​ru (Ис­точ­ник).
  3. Schoolife.​ru (Ис­точ­ник).

         

До­маш­нее за­да­ние

1)      Опре­де­ли­те знак раз­но­сти:

а) ; б) ; в) ; г) 

2)      Най­ди­те ошиб­ку в рас­суж­де­ни­ях:

а) ; б) 

3)      Ре­ши­те урав­не­ния:

а) ; б) ; в) ; г) 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/korni-n-y-stepeni-iz-deystvitelnogo-chisla-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=XKRdhU3UXsY

http://www.youtube.com/watch?v=rftndVctTu8

http://www.youtube.com/watch?v=XCHZyO1kKp4

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/02/03/dm_01_koren_n-y_stepeni_iz_deystvitelnogo_chisla.pps

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы