11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

Если n - нечетное число, то существует единственный корень n-й степени ...

Комментарии преподавателя

 1. Понятие и определение квадратного корня из натурального числа

Мы до­воль­но долго не знали, что такое ко­рень n-ой сте­пе­ни из дей­стви­тель­но­го числа, и умели об­хо­дить­ся без этого по­ня­тия, но потом по­яви­лись слу­чаи, в ко­то­рых обой­тись без него уже невоз­мож­но.

Рас­смот­рим несколь­ко про­стей­ших при­ме­ров.

При­мер 1: 

Ре­ше­ние:

Спо­соб 1, ана­ли­ти­че­ский. Пе­ре­не­сем все члены в левую часть урав­не­ния так, чтобы спра­ва остал­ся . Далее раз­ло­жим на мно­жи­те­ли: .

Каж­дый мно­жи­тель при­рав­ни­ва­ем к нулю:

По­лу­ча­ем ответ:

Спо­соб 2, гра­фи­че­ский. По­стро­им кри­вую  и пря­мую  (рис. 1). По­лу­чим  и  в точ­ках пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков.

Рис. 1. Гра­фик урав­не­ний  и 

Ответ. .

Для ре­ше­ния этой за­да­чи нам не по­тре­бо­ва­лось ни­ка­ких новых ме­то­дов.

При­мер 2: 

Ре­ше­ние:

Спо­соб 1. Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли: . Каж­дый мно­жи­тель при­рав­ни­ва­ем к нулю:

По­лу­ча­ем ответ:

Спо­соб 2, гра­фи­че­ский. По­стро­им гра­фик для си­сте­мы (рис. 2), где пер­вое урав­не­ние – левая часть за­дан­но­го вы­ра­же­ния (), вто­рое – пра­вая ():

От­ве­та­ми будут точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков, т. е.  и .

Рис. 2. Гра­фик урав­не­ний  и 

Ответ: .

После ре­ше­ния двух задач нужды в новом слове не об­на­ру­же­но.

При­мер 3: x2=3

Ре­ше­ние:

Спо­соб 1, ана­ли­ти­че­ский. . Пы­та­ем­ся раз­ло­жить на мно­жи­те­ли, но ни­че­го не вы­хо­дит. По­про­бу­ем дру­гой спо­соб.

Спо­соб 2, гра­фи­че­ский. По­стро­им гра­фик для си­сте­мы (рис. 3), где пер­вое урав­не­ние – левая часть за­дан­но­го вы­ра­же­ния (), вто­рое – пра­вая ():

Рис. 3. Гра­фик урав­не­ний  и 

Видим, что гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся, а зна­чит, от­ве­ты все же есть. На­зо­вем их ко­рень квад­рат­ный из 3 и минус ко­рень квад­рат­ный из 3:

Ответ: 

Опре­де­ле­ние:

Квад­рат­ный ко­рень из трех – это ир­ра­ци­о­наль­ное число, при­бли­жен­ное к де­ся­тич­ной дроби (). Так как , в даль­ней­шем будем счи­тать его ариф­ме­ти­че­ским кор­нем.

Те­перь нам нужно опре­де­лить ко­рень n-ой сте­пе­ни из дей­стви­тель­но­го числа.

Рас­смот­рим еще один при­мер.

При­мер 4: , где 

Рис. 4. Гра­фик функ­ций  и 

Урав­не­ние имеет 2 корня:   и .

 2. Понятие и определение корня четной степени из неотрицательного числа

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-ой сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ют такое неот­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает в ре­зуль­та­те число a.

Т. е. если  , то . Из этого сле­ду­ет тож­де­ство .

На­пом­ним, что у любой функ­ции, в том числе и у дан­ной, есть 2 за­да­чи: пря­мая (по дан­но­му х найти у) и об­рат­ная (по дан­но­му у, в дан­ном слу­чае рав­но­му а, найти х). Если зна­че­ние а по­ло­жи­тель­ное и n чет­ное, то зна­че­ние у до­сти­га­ет­ся при двух зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та – по­ло­жи­тель­ном и от­ри­ца­тель­ном. По­ло­жи­тель­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та на­зы­ва­ет­ся кор­нем n-ной сте­пе­ни из а, или ариф­ме­ти­че­ским кор­нем n-ной сте­пе­ни из а.

Пе­рей­дем к нечет­ным сте­пе­ням. Нач­нем с .

Рис. 5. Гра­фик функ­ции , где 

Свой­ства функ­ции  (рис. 5) от­ли­ча­ют­ся от преды­ду­щих. На­пом­ним, что функ­ция нечет­ная, гра­фик ее сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат; она при­ни­ма­ет все зна­че­ния от  до , а зна­чит, любое свое зна­че­ние у при­ни­ма­ет при един­ствен­ном зна­че­нии х. На­при­мер, . По гра­фи­ку функ­ции (рис. 5) на­хо­дим ре­ше­ния.

Итак, урав­не­ние  имеет един­ствен­ный ко­рень. Если этот ко­рень неот­ри­ца­тель­ный, он на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ским кор­нем, в про­тив­ном слу­чае – минус ариф­ме­ти­че­ским кор­нем.

Если n – любое нечет­ное число, гра­фик функ­ции  имеет тот же вид и те же свой­ства, что и : функ­ция нечет­ная, гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат, об­ласть зна­че­ний от  до , любое зна­че­ние, в том числе и от­ри­ца­тель­ное, функ­ция при­ни­ма­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

 3. Понятие и определение корня нечетной степени из отрицательного числа

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем нечет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го числа а при  на­зы­ва­ют такое от­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое, бу­дучи воз­ве­де­но в сте­пень n, дает в ре­зуль­та­те число аНа­при­мер, т. к. ;    т. к. ;    т. к. 

По­ня­тие корня n-ой сте­пе­ни из дей­стви­тель­но­го числа поз­во­ля­ет уве­рен­но ре­шать сте­пен­ные урав­не­ния.

 4. Решение примеров

При­мер 5: ре­шить урав­не­ние ;

Ре­ше­ние.  т. к. сте­пень функ­ции чет­ная (рис. 6)

Ответ. .

Рис. 6. Гра­фик функ­ций  и 

При­мер 6:ре­шить урав­не­ние ;

Ре­ше­ние.  т. к. сте­пень функ­ции нечет­ная (рис. 7);

Ответ. .

Рис. 7. Функ­ции  и 

 5. Доказательство иррациональности числа 

В за­клю­че­ние по­вто­рим до­ка­за­тель­ство того, что  – ир­ра­ци­о­наль­ное число. Ис­поль­зу­ем метод от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что , где  – несо­кра­ти­мая дробь (такая как  или ). Тогда . Обе части вы­ра­же­ния – неот­ри­ца­тель­ные числа. Воз­ве­дем их в квад­рат: Пра­вая часть урав­не­ния де­лит­ся на 2, а зна­чит, и левая часть урав­не­ния (т. е.m) тоже обя­за­тель­но долж­на де­лить­ся на 2, a  – на 4. Тогда  тоже де­лит­ся на 4, а n – на 2. Из этого сле­ду­ет, что дробь не яв­ля­ет­ся несо­кра­ти­мой, ее чис­ли­тель и зна­ме­на­тель де­лят­ся на 2. А это про­ти­во­ре­чит на­ше­му пред­по­ло­же­нию. Сле­до­ва­тель­но, – ир­ра­ци­о­наль­ное число.

 

На дан­ном уроке мы узна­ли, что такое ко­рень n-ной сте­пе­ни из дей­стви­тель­но­го числа, и на­учи­лись ис­поль­зо­вать его на прак­ти­ке.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/ponyatie-kornya-n-oy-stepeni-iz-deystvitelnogo-chisla?seconds=0&chapter_id=53

http://www.youtube.com/watch?v=XKRdhU3UXsY

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-koren-n-stepeni.pptx

https://sites.google.com/site/matematika1167/algebra-i-nacala-analiza/stepeni-i-korni/ponatie-korna-n-oj-stepeni-iz-dejstvitelnogo-cisla

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы