7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства.

7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

 

 

Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

Урок: Умно­же­ние сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми (фор­му­ла )

 1. Основные определения

Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

Здесь a - ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

 - по­ка­за­тель сте­пе­ни,

n-ая сте­пень числа.

 2. Формулировка теоремы 1

Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных и спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

По-ино­му: если а – любое число; и на­ту­раль­ные числа, то:

От­сю­да пра­ви­ло 1:

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

 3. Разъясняющие задачи

Разъ­яс­ня­ю­щие при­ме­ры:

1) 

2) 

Вывод: част­ные слу­чаи под­твер­ди­ли пра­виль­ность тео­ре­мы №1. До­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных и k.

 4. Доказательство теоремы 1

Дано число а – любое; числа и k – на­ту­раль­ные. До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на опре­де­ле­нии сте­пе­ни.

То есть 

 5. Решение примеров с помощью теоремы 1

При­мер 1: Пред­ставь­те в виде сте­пе­ни.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 1.

а)  

б)  

в)

г) 

д) 

е) 

ж)

 6. Обобщение теоремы 1

Здесь ис­поль­зо­ва­но обоб­ще­ние:

 7. Решение примеров с помощью обобщения теоремы 1

з)

и) 

к) 

л) 

м) 

 8. Решение различных задач с помощью теоремы 1

При­мер 2: Вы­чис­ли­те (можно ис­поль­зо­вать таб­ли­цу ос­нов­ных сте­пе­ней).

а)  (по таб­ли­це)

б) 

При­мер 3: За­пи­ши­те в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем 2.

а)  

б) 

в)

г)

При­мер 4: Опре­де­ли­те знак числа:

, а – от­ри­ца­тель­ное, так как по­ка­за­тель сте­пе­ни при -13 нечет­ный.

По-ино­му:

При­мер 5: За­ме­ни­те (·) сте­пе­нью числа с ос­но­ва­ни­ем r:

Имеем  , то есть .

 

На этом уроке мы изучим деление степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и теорему об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Затем мы применим теорему для решения различных задач, а также решим типичные задачи с использованием обеих теорем.

 

 

Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

Урок: Де­ле­ние сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми (фор­му­ла )

 1. Напоминание основных определений и теоремы 1

Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

Здесь a - ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

- по­ка­за­тель сте­пе­ни,

n-ая сте­пень числа.

Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных и спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 2. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных и k, таких, что  k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли от­ни­ма­ют­ся, а ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

 2. Разъясняющие задачи

Разъ­яс­ня­ю­щие за­да­чи

1) 

2) 

Вывод: част­ные слу­чаи под­твер­ди­ли пра­виль­ность тео­ре­мы №2. До­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных и k таких, что  k.

 3. Доказательство теоремы 2 двумя способами

До­ка­за­тель­ство тео­ре­мы 2.

Пер­вый спо­соб.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 1. При­ме­ним ее для сте­пе­ней  и .

 

  . Раз­де­лим обе части на .

Вто­рой спо­соб.        

До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на опре­де­ле­нии сте­пе­ни

Со­кра­тим k со­мно­жи­те­лей.

То есть   для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных и k таких, что  k.

 4. Решение примеров на вычисление и упрощение с помощью теоремы 2

При­мер 1: Вы­чис­лить.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 2.

а) 

б)

При­мер 2: Упро­стить.

а)  

б) 

в) 

При­мер 3: Ре­шить урав­не­ние.

а)  

б)  

 5. Решение примеров на вычисление на совместное применение теорем 1 и 2

При­мер 4: Вы­чис­лить:

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров будем поль­зо­вать­ся обе­и­ми тео­ре­ма­ми.

а) =6 или быст­рее =6

б) ==81 или быст­рее =81

в) == или быст­рее 

 6. Решение примеров на упрощение на совместное применение теорем 1 и 2

При­мер 5: Упро­стить:

а) = или быст­рее 

б)  

в)  или быст­рее 

 

 

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/umnozhenie-stepeney-s-odinakovymi-osnovaniyami-formula-a-sup-n-sup-8727a-sup-k-sup-a-sup-n-k-sup?konspekt&chapter_id=2

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/delenie-stepeney-s-odinakovymi-osnovaniyami?konspekt&chapter_id=2

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=IQPWIC6GXuI

Файлы