7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства.

7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы начнем изучение степени с натуральным показателем. Вначале обсудим, зачем математикам понадобилось вводить понятие степени, дадим определение степени с натуральным показателем, рассмотрим ряд примеров на степень. Далее дадим определение степени с единичным показателем и в конце решим несколько примеров на вычисление степени.

 

 

Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

Урок: Что такое сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем

 1. Обсуждение, зачем математикам понадобилась степень

От­ку­да по­яви­лась сте­пень.

Вы­ра­же­ние а+а+а в ма­те­ма­ти­ке можно за­ме­нить на а+а+а=3а.

Вы­ра­же­ние а+а+а+а+а можно пред­ста­вить в виде а+а+а+а+а=5а.

То есть, если в вы­ра­же­нии n оди­на­ко­вых сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых а, то его можно крат­ко за­пи­сать na 

А умно­же­ние , можно крат­ко за­пи­сать так: а3, чи­та­ет­ся: а в кубе или тре­тья сте­пень числа а.

 – а в пятой сте­пе­ни или пятая сте­пень числа а.

А если в вы­ра­же­ние n оди­на­ко­вых со­мно­жи­те­лей, каж­дый из ко­то­рых а, то мы будем пи­сать:

 = an – n-ная сте­пень числа а.

 2. Определение степени

Опре­де­ле­ние. Сте­пе­нью an на­зы­ва­ет­ся про­из­ве­де­ние n оди­на­ко­вых со­мно­жи­те­лей,  , где n- на­ту­раль­ное числоn={2,3,…..}а – любое число.

 3. Терминология

Тер­ми­но­ло­гия: an

 а – ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

n – по­ка­за­тель сте­пе­ни,

an– сте­пень, или а в n-ой сте­пе­ни, или n-ая сте­пень числа а.

 4. Решение типовых задач на определение степени

При­мер 1: За­пи­сать про­из­ве­де­ние в виде сте­пе­ни, на­звать ос­но­ва­ние и по­ка­за­тель сте­пе­ни, вы­чис­лить, если воз­мож­но.

1. – это по опре­де­ле­нию 4 в кубе или тре­тья сте­пень числа 44- ос­но­ва­ние сте­пе­ни, 3- по­ка­за­тель сте­пе­ни. Ре­зуль­тат:

 

Ответ: 64

2. – по опре­де­ле­нию, это x в чет­вер­той сте­пе­ни, x – ос­но­ва­ние сте­пе­ни, 4 – по­ка­за­тель сте­пе­ни. Даль­ше вы­чис­лять нель­зя, по­то­му что x нужно при­сво­ить кон­крет­ное зна­че­ние.

Ответ

3.  

Это в пятой сте­пе­ни,  – это ос­но­ва­ние сте­пе­ни, 5 – по­ка­за­тель сте­пе­ни, он по­ка­зы­ва­ет сколь­ко раз ос­но­ва­ние умно­жа­ет­ся на себя. За­ме­ча­ние: от пе­ре­мен­ных мест со­мно­жи­те­лей про­из­ве­де­ние не ме­ня­ет­ся, за­пи­шем это вы­ра­же­ние по-дру­го­му:

 

Зна­чит, вы­ра­же­ние .

Ответ: .

4. – это в кубе, 3 – это по­ка­за­тель сте­пе­ни, – ос­но­ва­ние сте­пе­ни.

Ответ

5.  

 – вто­рая сте­пень числа 13  – вто­рая сте­пень числа 5.

Ответ: 4225

6. 

 – тре­тья сте­пень числа 2 – вто­рая сте­пень числа 3.

Ответ: 72

 5. Примеры на вычисление степени с различными показателями

В сте­пе­ни an может от­дель­но ме­нять­ся по­ка­за­тель сте­пе­ни или ос­но­ва­ние сте­пе­ни.

При­мер 2: Вы­чис­лить , если

a) n=2

b) n=3

c) n=4

Ре­ше­ние:

a так как стоит чет­ная сте­пень, минус про­па­да­ет.

b) 

c– так как стоит чет­ная сте­пень, минус про­па­да­ет.

Ответa) 25; b)-125; c)625;

В этом при­ме­ре ме­нял­ся по­ка­за­тель сте­пе­ни, а ос­но­ва­ние не ме­ня­лось. Рас­смот­рим при­мер, когда ме­ня­ет­ся ос­но­ва­ние.

 6. Примеры на вычисление степени с различными основаниями

При­мер 3: Вы­чис­литьb4, где

a) b=1

b) b=-3

c) b=

d) b=

Ответ:

a) 

b) 

c) 

 7. Определение степени с показателем 1

Вспом­ним, что на­ту­раль­ные числа - это 1,2,3 и так далее.

n={1,2,3,…..}

По на­ше­му опре­де­ле­нию:

an = ,                                (1)

n={2,3,…..}

Нужно еще одно опре­де­ле­ние для слу­чая n=1. Что же такое а1?

a1=a                                                   (2)

 8. Примеры степеней с показателем 1

При­мер.

()1=)

(-2)1=-2

31=3.

Итак, те­перь мы знаем, что такое an,где n={1,2,3,…..} – любое на­ту­раль­ное число.

 9. Геометрические задачи, в которых участвует степень

Рас­смот­рим гео­мет­ри­че­ские за­да­чи, в ко­то­рых участ­ву­ют сте­пе­ни.

За­да­ча: вы­чис­лить пло­щадь квад­ра­та, сто­ро­на ко­то­ро­го равна а, где

a) а=3 см

b) а=7 см

c) а=1,5 см

За­ме­ча­ние. Если у нас есть квад­рат со сто­ро­ной а, то его пло­щадь равна а2 или вто­рая сте­пень числа а.

S=a2

Ответ:

S=32=9 см2

S=72=49 см2

S=1,52=2,25 см2

Итак, гео­мет­ри­че­ская за­да­ча по­тре­бо­ва­ла от нас зна­ние сте­пе­ни.

 10. Задачи на вычисление

И в за­клю­че­ние, несколь­ко при­ме­ров на вы­чис­ле­ние. Задач много, но ключ к ре­ше­нию – пер­вое и вто­рое опре­де­ле­ние.

Вы­чис­лить:

a)   

Как видим, вы­чис­ле­ния могут быть раз­ные, но ключ к ре­ше­нию оди­на­ко­вый.

b) Вы­чис­лить при а=1 сле­ду­ю­щее вы­ра­же­ние:

а2=12=1

а3=13=1

При а=-1 будет чуть по­слож­нее:

а2=(-1)2=1

а3=(-13)=-1

а4=(-1)4=1

и т.д. -1 будет мер­цать то 1, то -1 в за­ви­си­мо­сти от того чет­ный или нечет­ный по­ка­за­тель.

 11. Подведение итогов урока

Итак, наша за­да­ча была рас­смот­реть, что такое сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем. Мы рас­смот­ре­ли 2 ос­нов­ных опре­де­ле­ния (1) и (2), вы­учи­ли тер­ми­но­ло­гию аn, где n – это по­ка­за­тель сте­пе­ни, а – ос­но­ва­ние сте­пе­ни, n – на­ту­раль­ное число, а – любое число. Затем мы вы­пол­ни­ли ряд задач. Далее мы будем изу­чать свой­ства сте­пе­ни с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/chto-takoe-stepen-s-naturalnym-pokazatelem?konspekt&chapter_id=2

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=0COo_2nOsz4

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.