10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.

Комментарии преподавателя

За­да­чи на рас­сто­я­ние от точки до кри­вой

 1. Опорные факты

Что такое рас­сто­я­ние от точки докри­вой? Точку  можно со­еди­нить со мно­ги­ми точ­ка­ми кри­вой. Каж­дый раз будут по­лу­чать­ся раз­ные рас­сто­я­ния. Среди них нужно найти наи­мень­шее. Это рас­сто­я­ние и будет на­зы­вать­ся рас­сто­я­ни­ем от точки до кри­вой. На кри­вой надо найти такую точку , чтобы рас­сто­я­ние было наи­мень­шим (см. рис. 1).

Рис. 1. Рас­сто­я­ние от точки до кри­вой.

Видим, что за­да­ча на рас­сто­я­ние – это за­да­ча на экс­тре­мум, на ми­ни­мум, то есть без про­из­вод­ной не обой­тись.

Вспом­ним, что рас­сто­я­ние от точки до пря­мой – это длина пер­пен­ди­ку­ля­ра (см. рис.2).

Рис. 2. Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой.

Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми – это тоже длина пер­пен­ди­ку­ля­ра (см. рис.3).

 

 

 

 

Рис. 3. Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми.

Рас­сто­я­ние от точки до окруж­но­сти легко найти. Нужно со­еди­нить центр с точ­кой , в ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся точка  – ис­ко­мое рас­сто­я­ние (см. рис.4).

Рис. 4. Рас­сто­я­ние от точки до окруж­но­сти.

Рас­сто­я­ние между двумя окруж­но­стя­ми, ко­то­рые не пе­ре­се­ка­ют­ся. Нужно со­еди­нить цен­тры, по­лу­чим две точки  и  – ис­ко­мое рас­сто­я­ние (см. рис.5).

Рис. 5. Рас­сто­я­ние между двумя окруж­но­стя­ми.

Сфор­му­ли­ру­ем за­да­чу в общем виде и на­пом­ним, каким об­ра­зом ее ре­шать. Мы по­вто­ри­ли, что такое рас­сто­я­ние. Вспом­ним фор­му­лу рас­сто­я­ния между двумя за­дан­ны­ми точ­ка­ми.  Пред­по­ло­жим, что на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти даны две точки  и  (см. рис.6).

Рис. 6. Рас­сто­я­ние между двумя за­дан­ны­ми точ­ка­ми.

Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  

.

Таким об­ра­зом, на­хо­дит­ся рас­сто­я­ние между точ­ка­ми, если из­вест­ны ко­ор­ди­на­ты этих точек.

 2. Задача 1

На па­ра­бо­ле  найти точки бли­жай­шие к на­ча­лу ко­ор­ди­нат, то есть к точке .

Рис. 7. Гра­фик функ­ции.

Ре­ше­ние.

Из про­стей­ше­го ана­ли­за за­да­чи можно уви­деть, что за­да­ча имеет два ре­ше­ния, в силу сим­мет­рии гра­фи­ка функ­ции от­но­си­тель­но оси Y (см. рис.7).

Ко­ор­ди­на­ты ис­ко­мой точки:  . По со­от­вет­ству­ю­щей фор­му­ле можем найти квад­рат рас­сто­я­ния:

. Это рас­сто­я­ние долж­но быть наи­мень­шим. Упро­стим эту фор­му­лу и по­лу­чим:

  или

.

Можно сразу ис­поль­зо­вать про­из­вод­ную для ре­ше­ния за­да­чи, но пока по­пы­та­ем­ся вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми би­квад­рат­ной функ­ции. С по­мо­щью за­ме­ны пе­ре­мен­ной , по­лу­чим:

. За­да­ча све­лась к на­хож­де­нию ми­ни­му­ма сле­ду­ю­щей квад­ра­тич­ной функ­ции  .  Най­дем абс­цис­су вер­ши­ны  (см. рис.8).

Рис. 8. Абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы.

За­да­ча прак­ти­че­ски ре­ше­на. Наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции будет тогда, когда . Вы­чис­лим . Зна­чит, функ­ция  ведет себя сле­ду­ю­щим об­ра­зом (см. рис.9):

Рис. 9. Схе­ма­ти­че­ский гра­фик функ­ции .

Без про­из­вод­ной, с по­мо­щью свойств квад­ра­тич­ной функ­ции, ре­ши­ли за­да­чу. Если , то  , от­сю­да . Если зна­че­ния ко­ор­ди­нат  из­вест­ны, вы­чис­лим зна­че­ния  По­лу­чи­ли ответ  ; .

Итак, была за­да­ча: найти точки на кри­вой, ко­то­рые бы от­сто­я­ли от на­ча­ла ко­ор­ди­нат на наи­мень­шее рас­сто­я­ние. Такие точки най­де­ны. Пер­вая точка -  , вто­рая точка – .

На­пом­ним ход ре­ше­ния за­да­чи. Точка   за­ви­сит толь­ко от , ее ко­ор­ди­на­ты – . При вы­ра­же­нии квад­ра­та рас­сто­я­ния, по­лу­чи­ли функ­цию от . Можно с по­мо­щью про­из­вод­ной найти ми­ни­мум. Можно сде­лать проще. Если сде­лать за­ме­ну , по­лу­чим квад­ра­тич­ную функ­цию и можно найти наи­мень­шее зна­че­ние дан­ной квад­ра­тич­ной функ­ции.

Ответ: .

 3. Задача 2

На гра­фи­ке функ­ции  найти точку , бли­жай­шую к дан­ной точке . Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем ри­су­нок (см. рис.10).

Рис. 10. Гра­фик функ­ции .

За­да­ны ко­ор­ди­на­ты двух точек:  и .

Най­дем рас­сто­я­ние АМ:

.

 или .

 - квад­ра­тич­ная функ­ция от . Вспом­ним, что нужно найти ми­ни­маль­ное зна­че­ние, то есть . Гра­фи­ком этой функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, вет­вя­ми на­прав­лен­ная вверх, зна­чит, ми­ни­мум на­хо­дит­ся в вер­шине. Вы­де­лим пол­ный квад­рат и по­лу­чим:

. Вы­яс­ни­лось, что . Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, когда  при­ни­ма­ет самое ми­ни­маль­ное зна­че­ние. Это будет в слу­чае, когда . Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли ответ , а . Зна­чит, ко­ор­ди­на­ты точки .

Ответ: .

 4. Итог  

Итак, мы рас­смот­ре­ли за­да­чи на рас­сто­я­ние от точки до кри­вой. Можно на­хо­дить само это рас­сто­я­ние, можно ис­кать точки, ко­то­рые обес­пе­чи­ва­ют ми­ни­мум этого рас­сто­я­ния. По­вто­ри­ли, что такое рас­сто­я­ние между фи­гу­ра­ми. Рас­сто­я­ние от точки до кри­вой – это наи­мень­шее из рас­сто­я­ний, ко­то­рое по­лу­ча­ет­ся, когда точка на кри­вой про­бе­га­ет все воз­мож­ные зна­че­ния. На­при­мер, точка  может про­бе­гать все зна­че­ния на кри­вой , но наи­мень­шее рас­сто­я­ние будет тогда, когда точка  имеет ко­ор­ди­на­ты . Для этого нужно, во-пер­вых, вспом­нить, что такое рас­сто­я­ние, и во-вто­рых, каким об­ра­зом ищет­ся рас­сто­я­ние между точ­ка­ми, если из­вест­ны ко­ор­ди­на­ты. И, на­ко­нец, надо за­пи­сать квад­рат рас­сто­я­ния и про­ана­ли­зи­ро­вать по­лу­чен­ную функ­цию. Если не уда­ет­ся это сде­лать эле­мен­тар­ны­ми сред­ства­ми, с по­мо­щью свойств квад­ра­тич­ной функ­ции, то надо ис­поль­зо­вать про­из­вод­ную и ис­кать наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции .

Ти­по­вые за­да­чи на про­из­вод­ную с ир­ра­ци­о­наль­ны­ми функ­ци­я­ми

 5. Техника дифференцирования

Важ­ней­шие за­да­чи на про­из­вод­ную с ир­ра­ци­о­наль­ны­ми функ­ци­я­ми – это за­да­чи на экс­тре­мум. Пре­жде всего, нужно вспом­нить тех­ни­ку диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния.

По­вто­рим ее на сле­ду­ю­щем при­ме­ре.

 Дана функ­ция . Найти .

На­пом­ним, что .

 - по­сто­ян­ная ве­ли­чи­на, так как в дан­ном вы­ра­же­нии нет пе­ре­мен­ной, а . От­сю­да, .

Сле­ду­ю­щее дей­ствие – найти про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке.

. Таким об­ра­зом, нашли про­из­вод­ную в дан­ной точке. Зна­чит, пер­вая ти­по­вая за­да­ча, есть там ир­ра­ци­о­наль­ность или нет, ре­ша­ет­ся стан­дарт­ным об­ра­зом. Если нужно найти про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке, ищем про­из­вод­ную в любой точке , а потом под­став­ля­ем нуж­ное зна­че­ние.

 6. Исследование функции и построение графика (задача 1)

По­стро­ить гра­фик функ­ции .  

Сна­ча­ла надо по­пы­тать­ся все сде­лать без про­из­вод­ной и по­нять эскиз гра­фи­ка функ­ции.

1. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции.

 .

Най­дем корни (нули) функ­ции:  или .

Во всех точ­ках об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ция по­ло­жи­тель­на, зна­чит, гра­фик будет на­хо­дить­ся над осью  (см. рис.1).

Рис. 1. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции .

2. По­стро­ить гра­фик  в окрест­но­сти каж­до­го корня.

Функ­ция в точке  равна нулю. Спра­ва и слева от точки  функ­ция по­ло­жи­тель­на, зна­чит, в точке  функ­ция имеет экс­тре­мум, про­из­вод­ная долж­на это под­твер­дить. В точке  функ­ция тоже рана нулю. Зна­чит, функ­ция ведет себя сле­ду­ю­щим об­ра­зом (см. рис.2):

Рис. 2. Схе­ма­ти­че­ский гра­фик функ­ции  в окрест­но­сти каж­до­го корня.

Точек раз­ры­ва нет, и когда , то . Зна­чит, гра­фик функ­ции вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом (см. рис.3):

Рис. 3. Схе­ма­ти­че­ский гра­фик функ­ции при .

По­стро­и­ли эскиз гра­фи­ка функ­ции.

3. Про­ве­дем ис­сле­до­ва­ние функ­ции  с по­мо­щью про­из­вод­ной и вы­яс­ним ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и най­дем кри­ти­че­ские точки:

    от­сю­да .

Оба зна­че­ния  при­над­ле­жат об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Най­дем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной. Сде­ла­ем ил­лю­стра­цию (см. рис.4):

Рис. 4. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной.

Итак,  - точка мак­си­му­ма, так как про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с «+» на «-» (см. рис.4). Най­дем зна­че­ние функ­ции в этой точке:

.  Точка  - точка ми­ни­му­ма, так как про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с «-» на «+». Вы­чис­лим .

Таким об­ра­зом, можем по­стро­ить гра­фик функ­ции  (см. рис. 5).

Рис. 5. Гра­фик функ­ции .

 7. Решение задачи с параметром

Дано урав­не­ние . Найти по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра , при ко­то­ром урав­не­ние  имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся гра­фи­ком функ­ции  (см. рис.5). При  урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня, но  по усло­вию  по­это­му .

Ответ: При .

Итак, мы рас­смот­ре­ли  функ­цию , где есть ир­ра­ци­о­наль­ность, ис­сле­до­ва­ние и по­стро­е­ние гра­фи­ка. Ме­то­ди­ка по­стро­е­ния гра­фи­ка функ­ции сле­ду­ю­щая: по­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции без ис­поль­зо­ва­ния про­из­вод­ной (ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции, по­ве­де­ние функ­ции в окрест­но­сти точек раз­ры­ва об­ла­сти опре­де­ле­ния, в окрест­но­сти кор­ней и бес­ко­неч­но уда­лен­ных точек). Потом ис­сле­до­ва­ние с по­мо­щью про­из­вод­ной уточ­ня­ет гра­фик функ­ции.

 8. Исследование функции и построение графика (задача 2)

По­стро­ить гра­фик функ­ции .

Ре­ше­ние.

Эта функ­ция ир­ра­ци­о­наль­ная. Ме­то­ди­ку при­ме­ня­ем ту же самую. Сна­ча­ла по­пы­та­ем­ся по­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции без про­из­вод­ной.

 .

Най­дем нули функ­ции.

   или . Опре­де­лим знак функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле (см. рис.6).

Рис. 6. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции.

Итак, знаем, что на про­ме­жут­ке  гра­фик функ­ции будет на­хо­дить­ся над осью , а на про­ме­жут­ке  - под осью .

По­стро­им гра­фик функ­ции в окрест­но­сти каж­до­го корня (см. рис.7).

Рис. 7. Схе­ма­ти­че­ский гра­фик функ­ции в окрест­но­сти каж­до­го корня.

Если , то . Гра­фик идет сле­ду­ю­щим об­ра­зом (см. рис.8):

Рис. 8. Эскиз гра­фи­ка функ­ции .

Мы пред­по­ла­га­ем, что на про­ме­жут­ке  дол­жен быть экс­тре­мум (см.рис.8). На все во­про­сы даст ответ про­из­вод­ная.

Про­ве­дем ис­сле­до­ва­ние функ­ции с по­мо­щью про­из­вод­ной.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю, по­лу­чим:

, от­сю­да  - един­ствен­ная точка об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции, в ко­то­рой про­из­вод­ная равна нулю. Най­дем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной (см. рис.9):

Рис. 9. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной.

Оста­лось вы­чис­лить зна­че­ние функ­ции в точке .

 . Итак, ко­ор­ди­на­ты точки экс­тре­му­ма та­ко­вы:  

Рис. 10. Гра­фик функ­ции .

Если мы про­ве­ли пол­ное ис­сле­до­ва­ние функ­ции и по­стро­и­ли гра­фик, то на любые ти­по­вые во­про­сы, свя­зан­ные с этой функ­ци­ей, мы можем по­лу­чить от­ве­ты.

На­при­мер, найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра , при ко­то­рых урав­не­ние  не имеет ре­ше­ний.

Ответ: если урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, зна­чит па­ра­метр  не вхо­дит в мно­же­ство зна­че­ний функ­ции (см. рис. 10).

Рис. 10. Мно­же­ство зна­че­ний функ­ции.

Ответ: урав­не­ние  не имеет ре­ше­ний при всех .

 9. Итог  

Итак, мы рас­смот­ре­ли ти­по­вые за­да­чи на про­из­вод­ную для тех функ­ций, в ко­то­рых при­сут­ству­ет ир­ра­ци­о­наль­ность. Вспом­ни­ли, как диф­фе­рен­ци­ру­ют­ся такие функ­ции, каким об­ра­зом ис­сле­ду­ют­ся функ­ции, и как стро­ят­ся гра­фи­ки функ­ций.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/zadachi-na-rasstoyanie-ot-tochki-do-krivoy

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/tipovye-zadachi-na-proizvodnuyu-s-irratsionalnymi-funktsiyami

http://www.youtube.com/watch?v=iOz-YH_48GU

http://www.youtube.com/watch?v=t2tyJqTSn8U

http://znanija.com/task/2437276

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/779ef72b0b73617de61c4dc2c21838459e86176ed8f801b37481d34346768467/56a16f54/KmTYbqVG3TgKGL9iUHPR0em0RlLtpxhP_BVgRtkosSgfwonkMOj8PI__aMfad3WZY71hHToni_M3mTC7aMwq3A%3D%3D?uid=0&filename=666.PDF&disposition=attachment&hash=RaLDsjqwggBTdSmademPwU40mOjt%2BFWdduHVDt9R80E%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=8352787&hid=021760e85b03ef221c6c4091fc10c607&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы