10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.

10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=a ...

Комментарии преподавателя

 Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x^3. Типовые задачи.

1. Краткое повторение темы предыдущего занятия

На предыдущем уроке мы рассмотрели понятие производной и рассмотрели алгоритм нахождения производной. Он предусматривал: дать приращение аргументу, вычислить приращение функции, вычислить отношение  , упростить, проанализировать, устремить к нулю и найти производную. Это было в общем виде, а теперь этот алгоритм рассмотрим на примере конкретных функций.

2. Функция f(x)=x^3

Пример 1 Дано: 

Найти .

Зафиксируем точку  и найдем значение производной от конкретной функции в конкретной точке. Действуем по алгоритму.

1)Вычисляем значение . Иллюстрируем все это графиком.

Кубическая парабола.

Рис. 1. Кубическая парабола.

Зафиксировав точку , вычислим значение функции в этой точке. Получим .

2) Даем аргументу приращение  ,получаем   - новое значение аргумента.

Примечание. В данном случае приращение положительное. Можно дать приращение отрицательное, тогда функция будет либо увеличиваться, либо уменьшаться. Важно, что –любое.

3) Вычислить значение функции в новой точке , подставив эту точку в функцию.

.

4) Найдем , то есть разность между значением функции в новой точке минус значение функции в старой точке.

.

Имеем две точки: значение аргумента  и значение функции в точке , новое значение аргумента и значение функции при новом значении аргумента. Разность этих значений функции дает .

5) Найдем разностное отношение

.

Знаменатель для всех функций один и тот же, - приращение аргумента, а числитель – свой для каждой функции. Получили разностное отношение. Далее надо упростить его, сократить на  и сделать дальнейший анализ.

Упрощать в данном случае можно по-разному. Можно применить формулу или куб суммы, или разность кубов. Напомним, что

. В данном случае  - это  - это . Имеем

Раскрывая скобки, получили многочлен. Приведем подобные члены. Дальше надо преобразовать так, чтобы  сократить. Вынесем за скобки, получим    Теперь можно сократить на , ведь , оно не равно нулю. Имеем соотношение следующего вида

. Осталось узнать, что происходит, когда . В данном случае второй член выражения  пропадет, и третий член пропадет. Останется , то есть .

Результат

, то есть смысл такой: 3 выносим как сомножитель и показатель уменьшили на единицу.

Итак, зафиксировали точку , нашли производную от конкретной функции в конкретной точке . Точка  может быть любая.

Ответ: .

Итак, мы зафиксировали функцию  - кубическую параболу. Была задача: найти производную этой функции в конкретной точке  . Мы зафиксировали точку  и действовали по алгоритму, который был изложен в общем виде, и применен к данной функции. Этот алгоритм можно применять к любой функции, а именно: вычислить значение функции в точке , подставив значение  в закон соответствия, то есть в функцию, дать приращение аргумента, найти значение функции при новом значении аргумента и получить приращение функции, то есть разность между  значениями функции в новой точке и старой. Далее, надо найти разностное отношение , упростить его так, чтобы вынести   за скобку и сократить на . В результате получится выражение, члены которого зависят от  и не зависят от него. Если члены, которые зависят от  прямо пропорциональны ему, то они при  стремятся к нулю, то есть пропадают. Остаются только члены, которые не зависят от . Таким образом получим значение производной.

Для знакомых с пределами  .

Важно понять, что есть члены с  члены  и члены без . При этом члены с  пропадают, остается то, что называется производной.

Итак, производная от кубической функции в любой точке  - это .

3. Типовые задачи

Возьмем конкретный пример.

Дано: 

Найти: , то есть конкретное значение функции в точке .

Решение.

1) Найти производную в любой точке .

2) Найти .

Физический и геометрический смысл решения задачи.

В момент , если двигаться (уезжать от дома) по закону , скорость равна 12. Если к этой кривой мы проведем касательную в точке , то эта касательная имеет угол наклона  (см.рис.2). Так вот . Это говорит о том, что угол довольно большой, так как  растет быстро (от дома мы уезжаем довольно быстро). Более того, чем дальше, тем быстрее скорость.

Физический и геометрический смысл решения задачи 

Рис. 2. Физический и геометрический смысл решения задачи.

4. Итог урока

Итак, рассмотрено подробное применение общего алгоритма нахождения производной для конкретной функции. Детализировано подробно каждое действие, решили одну из типовых задач, а именно, как находить значение производной функции в конкретной точке. Для этого нужно найти значение функции в произвольной точке, а потом найти значение производной в конкретной точке.

 5. Таблица производных

Диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние функ­ций «с нуля», т. е. ис­хо­дя из опре­де­ле­ния про­из­вод­ной и тео­рии пре­де­лов – вещи до­ста­точ­но тру­до­ём­кая. По­это­му ма­те­ма­ти­ки вы­чис­ли­ли про­из­вод­ные эле­мен­тар­ных функ­ций. По­лу­чи­лась таб­ли­ца про­из­вод­ных, где всё уже го­то­во.

Про­из­вод­ные неко­то­рых эле­мен­тар­ных функ­ций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

 Доказательство формулы (√x)Ꞌ=1/(2√x)

Дано: 

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство

Изоб­ра­зим гра­фик функ­ции:  (см. Рис. 1). За­фик­си­ру­ем точку  и при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та . По­лу­ча­ем новое зна­че­ние ар­гу­мен­та  и, со­от­вет­ствен­но, новое зна­че­ние функ­ции . То есть при пе­ре­хо­де от зна­че­ния ар­гу­мен­та  к  зна­че­ния функ­ции из­ме­ня­ют­ся со­от­вет­ствен­но от  до  . Зна­че­ние функ­ции в новой точке равно .

По­лу­чи­ли пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник (вы­де­лен крас­ным цве­том), ка­те­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся два при­ра­ще­ния – при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та () и при­ра­ще­ние функ­ции (– раз­ность между зна­че­ни­ем функ­ции в новой точке и зна­че­ни­ем функ­ции в ста­рой точке).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Най­дём от­но­ше­ние :

Умно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на вы­ра­же­ние :

В чис­ли­те­ле по­лу­чи­ли вы­ра­же­ние раз­но­сти квад­ра­тов:

Сле­до­ва­тель­но:

Про­ана­ли­зи­ру­ем дан­ное вы­ра­же­ние при :

 – про­из­воль­ное до­пу­сти­мое число, по­это­му:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Задача 1

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

1. Най­дём про­из­вод­ную в любой точке :

2. Най­дём про­из­вод­ную в за­дан­ной точке:

Как из­вест­но, это зна­че­ние яв­ля­ет­ся тан­ген­сом угла на­кло­на ка­са­тель­ной к кри­вой , про­ве­дён­ной в точке с абс­цис­сой 4 (см. Рис. 2):

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

 Доказательство формулы (sinx )Ꞌ=cosx

Дано: 

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство

На ри­сун­ке 3 по­ка­за­но, каким об­ра­зом ведёт себя функ­ция . За­фик­си­ру­ем точку  и при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та . По­лу­ча­ем новое зна­че­ние ар­гу­мен­та (новую точку) . При пе­ре­хо­де от зна­че­ния ар­гу­мен­та  к  зна­че­ния функ­ции из­ме­ня­ют­ся со­от­вет­ствен­но от  до .

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Най­дём от­но­ше­ние :

Для упро­ще­ния этого вы­ра­же­ния ис­поль­зу­ем фор­му­лу раз­но­сти си­ну­сов:

При :

Объ­яс­ним это, рас­смот­рев три­го­но­мет­ри­че­ский круг с ра­ди­у­сом 1 и угол, рав­ный  (см. Рис. 4). Нам необ­хо­ди­мо найти длину дуги  и длину хорды .

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Длина дуги равна про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са на цен­траль­ный угол:

Ра­ди­ус равен 1, по­это­му длина дуги чис­лен­но равна цен­траль­но­му углу, ко­то­рый равен . Сле­до­ва­тель­но:

Хорда  со­сто­ит из двух ка­те­тов тре­уголь­ни­ков  и , ко­то­рые равны про­из­ве­де­нию ги­по­те­ну­зы (еди­ни­ца, так как это ра­ди­ус) на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла. Сле­до­ва­тель­но:

При  длина дуги стре­мит­ся к длине хорды:

То есть при ма­лень­ком угле дуга и хорда по длине нераз­ли­чи­мы.

Таким об­ра­зом, до­мно­жив вы­ра­же­ние  на 2, по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние , ко­то­рое есть от­но­ше­ние длины хорды к длине дуги:

Но так как , то:

Сле­до­ва­тель­но, при :

По­это­му:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Задача 2

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

1. Най­дём про­из­вод­ную в любой точке :

2. Най­дём про­из­вод­ную в за­дан­ной точке:

Ответ: .

 Задача 3

Дано: 

Найти: тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной к кри­вой  в точ­ках: а) ; б) ; в)

Ре­ше­ние

На ри­сун­ке 5 по­ка­за­на ил­лю­стра­ция к за­да­че. Изоб­ра­же­на си­ну­со­и­да, к точке кри­вой с абс­цис­сой  про­ве­де­на ка­са­тель­ная, ко­то­рая об­ра­зу­ет угол  с осью . Тан­генс дан­но­го угла необ­хо­ди­мо найти. Также необ­хо­ди­мо найти тан­генс угла, ко­то­рый об­ра­зо­вы­ва­ет­ся при пе­ре­се­че­нии оси абс­цисс с ка­са­тель­ной, про­ве­дён­ной к точке кри­вой с абс­цис­сой 0 и  .

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как , то:

а) Для точки  тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен:

б) Для точки  тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен:

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая , изоб­ра­жён­ная на ри­сун­ке 5, яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к си­ну­со­и­де в точке 0.

в) Для точки , тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен:

Сле­до­ва­тель­но, в этом слу­чае ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси .

Ответ: а) ; б) ; в) .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/algebra/10-klass/video/primery-vychisleniya-proizvodnyh-funktsiya-f-x-x-sup-3-sup-tipovye-zadachi

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/tablitsa-proizvodnyh-proizvodnye-trigonometricheskih-funktsiy-tipovye-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=fuCBw8gdRH8

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://www.absolom.ru/mathprofi/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi.html

 

 

Файлы