10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.

10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность. Дифференцирование функций.

Комментарии преподавателя

 Пример функции 

Пусть за­да­на функ­ция  и зна­че­ние , зна­че­ние ар­гу­мен­та. Что про­ис­хо­дит с функ­ци­ей, если ?

Рас­смот­рим функ­цию , за  при­мем число 2, оно при­над­ле­жит об­ла­сти опре­де­ле­ния, т. е. , также из­вест­но, что .

Пусть , нам необ­хо­ди­мо вы­яс­нить, что про­ис­хо­дит с функ­ци­ей и ка­ко­ва роль числа  (рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции  

 Понятие предела функции, выделение 

Нач­нем с вы­де­ле­ния ε-окрест­но­сти в точке  – это про­из­воль­ное малое число, на­при­мер , тогда , имеем -окрест­ность для . Имеем го­ри­зон­таль­ную по­ло­су ши­ри­ной , по­лу­ча­ем точки  и .

 

Рис. 2. Гра­фик функ­ции , ,  

Зна­че­ние  до­сти­га­ет­ся, когда , Зна­че­ние  до­сти­га­ет­ся, когда .

 мень­ше, чем , од­на­ко точка  ближе к 2, зна­чит, за  мы вы­бе­рем .

, так мы по­лу­чи­ли -окрест­ность для , по­лу­чи­ли точку (рис. 2).

 – окрест­ность точки 2 вы­де­ля­ет такой кусок гра­фи­ка, ко­то­рый це­ли­ком рас­по­ло­жен в го­ри­зон­таль­ной по­ло­се ши­ри­ной .

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

Кри­вая  на­хо­дит­ся внут­ри го­ри­зон­таль­ной по­ло­сы – это озна­ча­ет, что как толь­ко  по­па­дет в δ-окрест­ность точки 2,  по­па­дет в -окрест­ность точки .

То есть y  и точ­ность при­бли­же­ния за­ви­сит от  может быть сколь­ко угод­но малым чис­лом, глав­ное, чтобы по­ло­жи­тель­ным, но при за­дан­ном  можно найти такое , что как толь­ко  по­па­дет в δ-окрест­ность точки 2,  по­па­дет в -окрест­ность точки , имен­но этим об­сто­я­тель­ством нам важна .

 при . Для любой узкой го­ри­зон­таль­ной по­ло­сы во­круг точки  най­дет­ся под­хо­дя­щая вер­ти­каль­ная по­ло­са во­круг точки  такая, что вы­де­ля­ет такой кусок гра­фи­ка, ко­то­рый це­ли­ком на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ной по­ло­се (рис. 3).

Число  на­зы­ва­ет­ся пре­де­лом функ­ции  при , если ска­зан­ное спра­вед­ли­во для лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го .

За­пи­сы­ва­ет­ся это сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Если  на­хо­дит­ся вб­ли­зи точки 2, то  на­хо­дит­ся вб­ли­зи сво­е­го пре­де­ла, вб­ли­зи точки .

 Предел функции в точке 

Была функ­ция , мы умно­жим чис­ли­тель на , и раз­де­лим чис­ли­тель на , ясно, что в точке 2 функ­ция не су­ще­ству­ет, рас­пи­шем эту функ­цию:

Наша новая функ­ция сов­па­да­ет со ста­рой функ­ци­ей везде, кроме одной точки, на­ри­су­ем новый чер­теж (рис. 4):

Рис. 4. Гра­фик 

 Важные отличия функций  и 

Важ­ные от­ли­чия:

  1. .
  •  – пре­дел равен .
  • Непре­рыв­на в точке .
  1. .
  • – пре­дел  .
  • Глав­ное раз­ли­чие – это на­ли­чие раз­ры­ва в ОДЗ.
  • Не яв­ля­ет­ся непре­рыв­ной в точке  (ри­су­нок 4).

 Определения функции 

Если пер­вая функ­ция су­ще­ство­ва­ла в точке 2, то вто­рая функ­ция не су­ще­ству­ет в точке 2, а пре­дел у них один и тот же.  непре­рыв­на по­то­му, что пре­дел этой функ­ции при  равен  , т. е. зна­че­нию функ­ции в точке 2, чего нель­зя ска­зать про функ­цию номер 2.

 можно за­ме­нить на .

 можно за­ме­нить дру­гим чис­лом  из ОДЗ и по­лу­чить важ­ные опре­де­ле­ния:

  1. Функ­цию  на­зы­ва­ют непре­рыв­ной в точке , если вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние
  2. Функ­цию  на­зы­ва­ют непре­рыв­ной на про­ме­жут­ке , если она непре­рыв­на в каж­дой точке этого про­ме­жут­ка.

 Утверждение непрерывности функции

Если вы­ра­же­ние  со­став­ле­но из ра­ци­о­наль­ных, ир­ра­ци­о­наль­ных, три­го­но­мет­ри­че­ских вы­ра­же­ний, то функ­ция  непре­рыв­на в любой точке, в ко­то­рой опре­де­ле­но вы­ра­же­ние , т. е.

Это утвер­жде­ние поз­во­ля­ет опре­де­лять, где дан­ная функ­ция непре­рыв­на.

 Теорема для вычисления пределов

Но каким об­ра­зом вы­чис­лять пре­де­лы? Для этого су­ще­ству­ет тео­ре­ма:

Если , то:

  1.  – пре­дел суммы  и  при  равен сумме пре­де­лов, т. е. .
  2.  – пре­дел про­из­ве­де­ния  и g при  равен про­из­ве­де­нию пре­де­лов, т. е..
  3.  – пре­дел част­но­го  при , есть част­ное от пре­де­лов, т. е. при .
  4.  – пре­дел про­из­ве­де­ния ко­эф­фи­ци­ен­та  на функ­цию равен  умно­жен­но­му на пре­дел этой функ­ции, т. е. по­сто­ян­ный мно­жи­тель можно вы­не­сти за знак пре­де­ла.

 Пример 1, найти 

Найти .

Во-пер­вых, нужно взять пре­дел от  и от­нять пре­дел , во-вто­рых, в точке 1 функ­ция непре­рыв­на, зна­чит, пре­дел функ­ции в этой точке равен зна­че­нию функ­ции при , т. е. еди­ни­цу под­став­ля­ем, по­лу­ча­ем:

Ответ: -1.

 Пример 2, найти 

Найти .

0 вхо­дит в об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции, зна­чит, пре­дел функ­ции при  равен зна­че­нию функ­ции в точке 0, функ­ция непре­рыв­на в точке 0, т. е. под­став­ля­ем 0 и по­лу­ча­ем:

Ответ: 0.

Вывод
Мы по­зна­ко­ми­лись с важ­ны­ми по­ня­ти­я­ми пре­де­ла функ­ции в точке, непре­рыв­но­сти функ­ции в точке, при­ве­ли при­ме­ры.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/predel-funktsii

http://www.youtube.com/watch?v=cU7kls536Mc

http://www.youtube.com/watch?v=N8IcQyAdC-Y

http://www.youtube.com/watch?v=VgguXT06ozs

http://www.youtube.com/watch?v=jYgmiFB_IWA

http://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-predel-funktsii-na-beskonechnosti

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-predel-funktsii-na-beskonechnosti.pptx

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-5-proizvodnaya/26-predel-funktsii

 

Файлы