10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов.

10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов.

Функция y=sinx определена ...

Комментарии преподавателя

 Рассмотрение формул косинуса и синуса разности аргументов

Вы­пи­шем 2 фор­му­лы:

- ко­си­нус раз­но­сти ар­гу­мен­тов:

,

то есть ко­си­нус раз­но­сти ар­гу­мен­тов – это сумма про­из­ве­де­ний ко­си­ну­сов и си­ну­сов этих ар­гу­мен­тов.

- синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов:

,

т. е. синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов – это раз­ность про­из­ве­де­ний си­ну­са α на ко­си­нус β и ко­си­ну­са α на синус β.

В за­да­чах важно по­ни­мать, что при­ни­мать за α и β.

 Задача 1 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов

За­да­ча 1Упро­стить.

Ре­ше­ние:

При­ни­ма­ем 5x за α, т. е. 5xα, а 3xβ, и ис­поль­зу­ем фор­му­лу синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов.

 Задача 2 на упрощение выражения с помощью формулы косинуса разности аргументов

За­да­ча 2. Упро­стить.

Ре­ше­ние:

Под­хо­дит фор­му­ла ко­си­ну­са раз­но­сти ар­гу­мен­тов, но у нас раз­ность про­из­ве­де­ний, по­это­му пре­об­ра­зу­ем дан­ное вы­ра­же­ние, вос­поль­зо­вав­шись свой­ством чёт­но­сти функ­ции ко­си­нус и свой­ством нечёт­но­сти функ­ции синус:

=

==

Мы не толь­ко упро­сти­ли вы­ра­же­ние, но и вы­чис­ли­ли его.

 Задача 3 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов

За­да­ча 3.Упро­стить вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние:

=

Вос­поль­зо­вав­шись свой­ством чёт­но­сти функ­ции ко­си­нус и свой­ством нечёт­но­сти  функ­ции синус, по­лу­ча­ем:

==

=

Т.к. 

        , то

==

===

=

 Разветвление Вычислительные задачи по теме урока

Вы­чис­ли­тель­ные за­да­чи по теме урока

Вы­чис­лить:

Ре­ше­ние:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой ко­си­нус раз­но­сти ар­гу­мен­тов.

===0

Вы­чис­лить:

Ре­ше­ние:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой синус раз­но­сти ар­гу­мен­тов.

==

Рас­смот­рим более слож­ную за­да­чу.

 Задача 4 на  нахождение синуса и сравнение чисел с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов

За­да­ча 4.

Дано

Найти: a) и 

Ре­ше­ние:

а) Рас­смот­рим три­го­но­мет­ри­че­скую окруж­ность (рис.1):

Тригонометрическая окружность

Рис. 1. Три­го­но­мет­ри­че­ская окруж­ность

Чис­лом t яв­ля­ет­ся длина вы­де­лен­ной дуги.

а) =

Все ве­ли­чи­ны, кроменам из­вест­ны.

======

Недо­ста­ю­щее число най­де­но.

 ==,

Т. е. 

б) Срав­нить по­мо­жет , если он от­ри­ца­тель­ный, число на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, если по­ло­жи­тель­ный – в пер­вой (спра­ва от  (рис. 2).

Иллюстрация к задаче

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Все ве­ли­чи­ны нам из­вест­ны:

==

=

Это ве­ли­чи­на от­ри­ца­тель­ная, сле­до­ва­тель­но, и ко­си­нус от­ри­ца­тель­ный (рас­по­ло­жен во вто­рой чет­вер­ти):

t.

Ино­гда при­хо­дит­ся при­ме­нять две фор­му­лы сразу в одной за­да­че.

 Задача 5 на решение уравнения с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов

За­да­ча 5.

Ре­шить урав­не­ние:.

Ре­ше­ние:

При­ме­ня­ем свой­ство чёт­но­сти функ­ции ко­си­ну­са и свой­ство нечёт­но­сти функ­ции си­ну­са:

==

По­лу­чи­ли про­стей­шее три­го­но­мет­ри­че­ское урав­не­ние.

 Иллюстрация к задаче 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для угла t =x+45пер­вое мно­же­ство ре­ше­ний даёт точка к1 (), вто­рое мно­же­ство

ре­ше­ний - к2 () (рис. 3).

      n

            n

Мы ре­ши­ли урав­не­ние и нашли все его ре­ше­ния, их бес­чис­лен­ное мно­же­ство.

 Подведение итогов

На дан­ном уроке были рас­смот­ре­ны фор­му­лы ко­си­ну­са и си­ну­са раз­но­сти ар­гу­мен­тов и ре­ше­ны ти­по­вые за­да­чи с при­ме­не­ни­ем дан­ных фор­мул.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/reshenie-zadach-na-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumenta

http://www.youtube.com/watch?v=EHHHBbj-5K4

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c387dadb-430f-4364-9805-9a214e982216/tgxgrafik.png

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c7666ec9-17a6-45cf-a1c8-0b88eefab66a/cosx1.png

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/158e09ee-2a8c-4474-bc65-9faff83108a3/sinx.png

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-4-preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenij/19-sinus-i-kosinus-summy-i-raznosti-argumentov/26

Файлы