10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов.

Комментарии преподавателя

Синус и ко­си­нус суммы ар­гу­мен­тов

 1. Введение. Формулы синуса и косинуса суммы двух аргументов

На уроке рас­смат­ри­ва­ют­ся фор­му­лы си­ну­са и ко­си­ну­сасуммы ар­гу­мен­тов, при­ме­не­ние этих фор­мул для ре­ше­ния неко­то­рых задач на вы­чис­ле­ние и упро­ще­ние вы­ра­же­ний, ре­ше­ние урав­не­ний и до­ка­за­тель­ство тож­деств.

Са­мы­ми важ­ны­ми в три­го­но­мет­рии яв­ля­ют­ся сле­ду­ю­щие две фор­му­лы:

 2. Применение формул синуса и косинуса суммы двух аргументов для разных задач

1. За­да­ча: Вы­чис­лить .

Ре­ше­ние:

1) При­ме­няя фор­му­лу си­ну­са суммы двух углов, имеем:

2) При­ме­няя фор­му­лу ко­си­ну­са суммы двух углов, имеем:

 .

 Ответ: 

2. За­да­ча: упро­стить вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние: при­ме­няя фор­му­лу си­ну­са суммы двух ар­гу­мен­тов, по­лу­ча­ем:

.

Ответ: .          

 В сле­ду­ю­щей за­да­че ис­поль­зу­ет­ся фор­му­ла ко­си­ну­са суммы двух ар­гу­мен­тов.

3. За­да­ча: упро­стить вы­ра­же­ние

.

Ре­ше­ние:

Ответ: .

 3. Доказательство тождеств с помощью формул синуса и косинуса суммы двух аргументов

4.   До­ка­зать тож­де­ство:  

До­ка­за­тель­ство:

,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Все дей­ствия можно про­ве­сти и в об­рат­ном по­ряд­ке.

5. До­ка­зать тож­де­ство: .    (1)

До­ка­за­тель­ство:

Пусть 

1) До­ка­жем, что левая часть равна пра­вой части:

2) Можно до­ка­зать, что пра­вая часть равна левой части:

По­лу­чим

при всех .

При этом, (1) эк­ви­ва­лент­но вер­но­му ра­вен­ству при всех дей­стви­тель­ных  Тож­де­ство до­ка­за­но.

 4. Вычислительные задачи

6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

Ре­ше­ние:

Ис­поль­зуя фор­му­лу при по­лу­ча­ем:

.

Ответ: .

7. Вы­чис­лить:

Ре­ше­ние:

.

Ответ: .

 5. Применение изучаемых формул при решении уравнений

8. Ре­шить урав­не­ние:

Ре­ше­ние: при­ме­няя фор­му­лу  при по­лу­ча­ем:

 Ответ: 

9. Ре­шить урав­не­ние: .

Ре­ше­ние:

Част­ный слу­чай ре­ше­ния урав­не­ния  (см. на рис.1).

 

Рис.1 Ре­ше­ние урав­не­ния 

 

Ответ:  

10. За­да­ча.

Дано:

Вы­чис­лить:

Вы­чис­ле­ние:

 из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства имеем:

Ответ: .

11. Фор­му­ли­ров­ка за­да­чи: найти наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния в гра­ду­сах

Ре­ше­ние:

 

Углы со зна­че­ни­ем си­ну­са  опи­сы­ва­ют­ся двумя мно­же­ства­ми точек, см. рис.2.

Рис. 2. Углы со зна­че­ни­ем си­ну­са 

    или   

.                        

По­сколь­ку тре­бу­ет­ся найти наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень, вы­пол­ним отбор корня (см. рис.3)

Рис. 3.

Пер­вое мно­же­ство зна­че­ний    опи­сы­ва­ет­ся точ­кой 

Вто­рое мно­же­ство зна­че­ний    опи­сы­ва­ет­ся точ­кой .

Ответ: 

 6. Итог урока

На уроке  рас­смат­ри­ва­лись фор­му­лы си­ну­са и ко­си­ну­са суммы ар­гу­мен­тов, их при­ме­не­ние для ре­ше­ния неко­то­рых задач.

На сле­ду­ю­щем уроке будут рас­смот­ре­ны фор­му­лы си­ну­са и ко­си­ну­са раз­но­сти ар­гу­мен­тов.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/sinus-i-kosinus-summy-argumentov

http://www.youtube.com/watch?v=u1Y3vP8fd-I

http://www.youtube.com/watch?v=_sjH3SnUJG4

http://www.youtube.com/watch?v=4y_C8jkBZxk

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://files.matmar.webnode.ru/system_preview_detail_200000448-8db7e8ead2-public/AL_10_04.jpg

http://pr-e-m.ru/photos/image/aHR0cDovLzVrbGFzcy5uZXQvZGF0YXMvYWxnZWJyYS9Ucmlnb25vbWV0cmljaGVza2llLWZ1bmt0c2lpLzAwMDctMDA3LVN2b2pzdHZhLXNpbnVzYS1rb3NpbnVzYS10YW5nZW5zYS1pLWtvdGFuZ2Vuc2EuanBn

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c387dadb-430f-4364-9805-9a214e982216/tgxgrafik.png

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c7666ec9-17a6-45cf-a1c8-0b88eefab66a/cosx1.png

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/158e09ee-2a8c-4474-bc65-9faff83108a3/sinx.png

 

Файлы