10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арктангенс и арккотангенс.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арктангенс и арккотангенс.

arcctga (арккотангенс a) - это такое число ...

Комментарии преподавателя

Арк­ко­тан­генс и ре­ше­ние урав­не­ния ctgx=a

 1. График функции y=ctgt, понятие арккотангенса

По­дроб­но рас­смот­рим по­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции  (рис. 1).

Функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет на про­ме­жут­ке  Также на этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет все свои зна­че­ния от  до 

Об­рат­ная за­да­ча имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. За­да­но зна­че­ние функ­ции – оно до­сти­га­ет­ся при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та на про­ме­жут­ке .

 2. Определение арккотангенса

Арк­ко­тан­генс числа  – это такое число  ко­тан­генс ко­то­ро­го равен 

На­при­мер:

 3. Арккотангенс на числовой окружности

Рас­смот­рим арк­ко­тан­генс на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (рис. 2).

При­мер: Найти по три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти сле­ду­ю­щие зна­че­ния:  В  каких пре­де­лах лежит зна­че­ние 

 4. Решение задач

Про­ил­лю­стри­ру­ем важ­ное свой­ство арк­ко­тан­ген­са.

Пусть  Арк­ко­тан­генс равен  если ар­гу­мент равен  Арк­ко­тан­генс равен  когда ар­гу­мент равен  (рис. 3).

На гра­фи­ке мы видим, что 

На­при­мер:

За­да­ча 1.

a) Срав­нить 

Ре­ше­ние:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние на гра­фи­ке (рис. 4).

            

Обос­ну­ем ответ. Срав­ним ар­гу­мен­ты:  Но функ­ция  убы­ва­ет на про­ме­жут­ке Зна­чит, мень­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции и 

Ответ: 

b) Оце­нить число 

Ре­ше­ние (рис. 5).

Ответ: 

За­да­ча 2. Про­ве­рить на кон­крет­ных при­ме­рах тож­де­ство:

Ре­ше­ние:

1. 

2. 

За­да­ча 3. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

Ответ

За­да­ча 4. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние на пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке.

Дан угол  Обо­зна­чим про­ти­во­ле­жа­щий катет  при­ле­жа­щий катет   (рис. 6). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за равна   

Ответ:

За­да­ча 5. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

Ответ: 2.

 5. Вывод, заключение

Мы узна­ли, что такое арк­ко­тан­генс. На сле­ду­ю­щем уроке мы решим с его по­мо­щью урав­не­ние  для любых 

Арк­ко­тан­генс и ре­ше­ние урав­не­ния ctgx=a (про­дол­же­ние)

 1. Решение уравнения ctgt=√3

Мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем арк­ко­тан­ген­са. Решим урав­не­ние  для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го .

При­мер 1. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

При  су­ще­ству­ет един­ствен­ное ре­ше­ние 

 наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од ко­тан­ген­са.

Рас­смот­рим ре­ше­ние того же урав­не­ния на чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 2).

Ответ: 

 2. Решение уравнения ctgt=a в общем виде

Решим урав­не­ние  в общем виде.

Ответ: 

 3. Решение задач

При­мер 2. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Про­из­ве­дём за­ме­ну пе­ре­мен­ной: 

Про­ил­лю­стри­ру­ем на чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 4).

Ответ: 

При­мер 3. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

 не под­хо­дит, т.к.  

Ответ: 

При­мер 4. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Ответ: 

При­мер 5. Найти число ре­ше­ний урав­не­ния  на от­рез­ке 

Ре­ше­ние:

Урав­не­ние имеет три ре­ше­ния на за­дан­ном от­рез­ке.

Про­ил­лю­стри­ру­ем еще и на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой (рис. 7).

Ответ: Три ре­ше­ния.

При­мер 6.Ре­шить урав­не­ние  Ука­зать наи­мень­шее по­ло­жи­тель­ное и наи­боль­шее от­ри­ца­тель­ное ре­ше­ния.

Ре­ше­ние:

Ответ: 

 4. Вывод, заключение

Мы ре­ши­ли урав­не­ние  в общем виде и рас­смот­ре­ли при­ме­ры ре­ше­ния раз­лич­ных урав­не­ний с ко­тан­ген­сом.

Ранее мы ре­ша­ли урав­не­ния 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkotangens-i-reshenie-uravneniya-ctg-x-a

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkotangens-i-reshenie-uravneniya-ctg-x-a-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=VLL0viu8OEM

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/11/08/arctg_i_arcctg.pps

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/10-klass-algebra-funkziya-arctangens-arccotangens.pptx

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-3-trigonometricheskie-uravneniya/17-arktangens-i-arkkotangens-reshenie-uravnenij-tg-ha-ctg-ha/10

 

 

Файлы