10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арктангенс и арккотангенс.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арктангенс и арккотангенс.

arctg a (арктангенс a) - это такое число ...

Комментарии преподавателя

Арк­тан­генс и ре­ше­ние урав­не­ния tgx=a

 1. График функции y=tgt, понятие арктангенса

Чтобы вве­сти по­ня­тие арк­тан­генс, рас­смот­рим функ­цию 

По­стро­им её по­дроб­ный гра­фик.

На оси абс­цисс будем от­кла­ды­вать точки крат­ные  На оси ор­ди­нат от­ло­жим со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния функ­ции, из­вест­ные нам из таб­лиц (рис. 1).

Про­ме­жу­ток  был вы­бран, так как на нем функ­ция при­ни­ма­ет все свои зна­че­ния от  и мо­но­тон­но воз­рас­та­ет.

На­пом­ним о пря­мой и об­рат­ной за­да­че для любой функ­ции.

Пря­мая за­да­ча: по за­дан­но­му зна­че­нию ар­гу­мен­та найти со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние функ­ции. На­при­мер, если ар­гу­мент равен  то зна­че­ние функ­ции равно 1.

Об­рат­ная за­да­ча: за­да­но зна­че­ние функ­ции, найти со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние ар­гу­мен­та про­ме­жут­ке . На­при­мер, если 

Каж­дое зна­че­ние функ­ции  на про­ме­жут­ке  до­сти­га­ет­ся толь­ко при одном зна­че­нии ар­гу­мен­та и на­зы­ва­ет­ся арк­тан­ген­сом.

 2. Определение арктангенса и графическая интерпретация

Арк­тан­генс  это такое число  тан­генс ко­то­ро­го равен 

Зна­че­ния арк­тан­ген­са опре­де­ля­ют­ся по гра­фи­ку (рис. 1).

На­при­мер:

По­ка­жем, как опре­де­лять зна­че­ния арк­тан­ген­сов на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти с по­мо­щью линии тан­ген­сов.

От­ме­тим на чис­ло­вой окруж­но­сти точки  Со­еди­ним каж­дую из них с  на­ча­лом ко­ор­ди­нат и про­ве­дем лучи до пе­ре­се­че­ния с ли­ни­ей тан­ген­сов. По­лу­чим зна­че­ния тан­ген­сов для ука­зан­ных углов (рис. 3).

При­ме­ры:

 3. Свойства арктангенса

От­ме­тим важ­ное свой­ство арк­тан­ген­са:

Про­ил­лю­стри­ру­ем его на еди­нич­ной окруж­но­сти (рис. 4).

Если 

Если  ему со­от­вет­ству­ет дуга 

На­при­мер:

 4. Решение задач

За­да­ча 1. Вы­чис­лить: 

Ре­ше­ние:

Зна­че­ния арк­тан­ген­сов опре­де­лим по гра­фи­ку (рис. 1) или по свой­ству.

Ответ: 

За­да­ча 2. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа: 

Ре­ше­ние (рис. 5).

На про­ме­жут­ке  функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет 

За­да­ча 3. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

Най­дем  

 

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние на пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке (рис. 6).

Дан угол  т.е. ка­те­ты равны  Ги­по­те­ну­зу на­хо­дим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра,  

Ответ: 

За­да­ча 4. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние на пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  (рис. 7).

Ответ: 

За­да­ча 5. Вы­чис­лить 

Ре­ше­ние:

Ответ: 

 5. Вывод, заключение

Мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем арк­тан­генс и ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи. На сле­ду­ю­щем уроке мы решим урав­не­ние  с по­мо­щью арк­тан­ген­са.

Арк­тан­генс и ре­ше­ние урав­не­ния tgx=a (про­дол­же­ние)

 6. Продолжение

На этом уроке мы рас­смот­рим ре­ше­ние урав­не­ния  для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го  

 7. Решение уравнения tgx=√3

За­да­ча 1. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Най­дем ре­ше­ние с по­мо­щью гра­фи­ков функ­ций (рис. 1).

Рас­смот­рим про­ме­жу­ток   На этом про­ме­жут­ке функ­ция мо­но­тон­на, зна­чит,  до­сти­га­ет­ся толь­ко при одном зна­че­нии функ­ции.

Ответ: 

Решим это же урав­не­ние с по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 2).

Ответ: 

 8. Решение уравнения tgx=a в общем виде

Решим урав­не­ние  в общем виде (рис. 3).

На про­ме­жут­ке  урав­не­ние  имеет един­ствен­ное ре­ше­ние 

Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од  

Ответ: 

Про­ил­лю­стри­ру­ем на чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 4).

Ответ: 

 9. Решение задач

За­да­ча 2. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Про­из­ве­дем за­ме­ну пе­ре­мен­ной 

Ответ: 

За­да­ча 3. Ре­шить си­сте­му: 

Ре­ше­ние (рис. 5):

В точке  зна­че­ние  по­это­му ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся толь­ко точка  

Ответ: 

За­да­ча 4. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Решим ме­то­дом за­ме­ны пе­ре­мен­ной: 

Ответ: 

За­да­ча 5. Найти число ре­ше­ний урав­не­ния  на про­ме­жут­ке 

Ре­ше­ние:

Решим за­да­чу с по­мо­щью гра­фи­ка (рис. 6).

Урав­не­ние имеет три ре­ше­ния на за­дан­ном про­ме­жут­ке.

Про­ил­лю­стри­ру­ем на чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 7), хотя это не так на­гляд­но, как на гра­фи­ке.

Ответ: Три ре­ше­ния.

 10. Вывод, заключение

Мы ре­ша­ли урав­не­ние  для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го  ис­поль­зуя по­ня­тие арк­тан­генс. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с по­ня­ти­ем арк­ко­тан­генс.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arktangens-i-reshenie-uravneniya-tg-x-a

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arktangens-i-reshenie-uravneniya-tg-x-a-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=VLL0viu8OEM

http://www.youtube.com/watch?v=2GXSFosXAAE

http://www.youtube.com/watch?v=cYlDbrKgE0s

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/11/08/arctg_i_arcctg.pps

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/10-klass-algebra-funkziya-arctangens-arccotangens.pptx

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-3-trigonometricheskie-uravneniya/17-arktangens-i-arkkotangens-reshenie-uravnenij-tg-ha-ctg-ha/10

 

 

Файлы