10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Функции у=sinx, y=cosx, их свойства, графики, типовые задачи.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Функции у=sinx, y=cosx, их свойства, графики, типовые задачи.

Любое число вида 2πk, где k – целое число, является ...

Комментарии преподавателя

Пе­ри­о­дич­ность функ­ций y=sint, y=cost

 1. Тема урока, введение

Пе­ри­о­дич­ность функ­ций, на­ли­чие пе­ри­о­да – спе­ци­фи­ка три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций. Ка­ко­ва при­чи­на его по­яв­ле­ния?

 2. Причины возникновения периода

Во-пер­вых, это опре­де­ле­ние си­ну­са, ко­си­ну­са, тан­ген­са и ко­тан­ген­са.

Во-вто­рых, – спе­ци­фи­ка отоб­ра­же­ния ар­гу­мен­та на чис­ло­вой оси или чис­ло­вой окруж­но­сти.

Рас­смот­рим по­дроб­нее. Пусть ар­гу­мент  от­кла­ды­ва­ет­ся на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой. Вспом­ним, что необ­хо­ди­мо сде­лать, чтобы из обыч­ной пря­мой по­лу­чить ко­ор­ди­нат­ную.

1. От­ме­тить на­чаль­ную точку.

2. За­дать по­ло­жи­тель­ное на­прав­ле­ние.

3. Опре­де­лить мас­штаб.

На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой су­ще­ству­ет вза­им­но-од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между точ­кой и дей­стви­тель­ным чис­лом. Каж­до­му дей­стви­тель­но­му числу  со­от­вет­ству­ет своя точка на пря­мой и на­о­бо­рот, каж­дой точке пря­мой со­от­вет­ству­ет одно дей­стви­тель­ное число (рис. 1).

На чис­ло­вой окруж­но­сти числу  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка M. Но длина окруж­но­сти ра­ди­у­са 1 равна  Число  тоже по­па­дет в точку M. Точка со­от­вет­ству­ет бес­чис­лен­но­му мно­же­ству чисел вида .

У точки един­ствен­ная пара ко­ор­ди­нат, т.е. един­ствен­ные зна­че­ния си­ну­са и ко­си­ну­са (рис. 2).

Еще  раз  по­смот­рим,  какое  су­ще­ству­ет  вза­и­мо­от­но­ше­ние  между  чис­ло­вой  пря­мой и чис­ло­вой  окруж­но­стью.  Пред­ста­вим  себе, что  бес­ко­неч­ная  тон­кая  нить на­ма­ты­ва­ет­ся на тон­кий обод ра­ди­у­са 1. Тогда все точки  по­па­дут в одну точку окруж­но­сти. В этом и при­чи­на пе­ри­о­дич­но­сти.

 3. Определение периодичной функции, наименьший положительный период функций y=sint, y=cost

Дадим стро­гое опре­де­ле­ние пе­ри­о­дич­но­сти.

Опре­де­ле­ние: Функ­цию  на­зы­ва­ют пе­ри­о­ди­че­ской, если су­ще­ству­ет такое от­лич­ное от нуля число T, что для лю­бо­го t  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

Число T на­зы­ва­ет­ся пе­ри­о­дом функ­ции 

Функ­ции  имеют много раз­лич­ных пе­ри­о­дов. До­ка­жем, что  наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од.

До­ка­за­тель­ство:

Число  яв­ля­ет­ся пе­ри­о­дом функ­ций 

Оста­лось до­ка­зать, что мень­ше­го по­ло­жи­тель­но­го пе­ри­о­да не су­ще­ству­ет.

Пусть T – про­из­воль­ный пе­ри­од. Тогда  для всех  в част­но­сти для 

 (рис. 3).

Наи­мень­шим по­ло­жи­тель­ным пе­ри­о­дом вида  яв­ля­ет­ся .

 4. Особенности исследования периодических функций y=sint, y=cost

За­ме­ним ар­гу­мент t на и об­су­дим ис­сле­до­ва­ние пе­ри­о­ди­че­ских функ­ций  и 

Так как  наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од, то необ­хо­ди­мо сде­лать сле­ду­ю­щее:

1) По­стро­ить гра­фик и ис­сле­до­вать функ­цию на любом от­рез­ке дли­ной 

2) Про­дол­жить гра­фик и сфор­му­ли­ро­вать свой­ства на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния, 

При этом необ­хо­ди­мо учесть нечет­ность функ­ции  и чет­ность функ­ции  

В со­от­вет­ствии с из­ло­жен­ной схе­мой рас­смот­рим функ­ции  и 

Функ­ция  – пе­ри­о­ди­че­ская, пе­ри­од  В силу нечет­но­сти до­ста­точ­но ис­сле­до­вать её на участ­ке  и сим­мет­рич­но отоб­ра­зить гра­фик от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат (рис. 4). 

Рас­смот­рим функ­цию  Учтём, что она чет­ная, гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y.

Мы можем по­стро­ить гра­фик на участ­ке  и сим­мет­рич­но отоб­ра­зить от­но­си­тель­но оси (рис. 5).

 

На­ли­чие пе­ри­о­да поз­во­ля­ет ре­шать мно­го­чис­лен­ные за­да­чи.

 5. Решение задач

За­да­ча 1. Вы­чис­лить

a) 

b) 

Ре­ше­ние:

a) 

Ответ: 1.

b) 

Ответ: 

За­да­ча 2. До­ка­зать тож­де­ство

До­ка­за­тель­ство:

 верно для лю­бо­го x.

Тож­де­ство до­ка­за­но.

За­да­ча 3. Ре­шить урав­не­ние

Ре­ше­ние:

Рис. 7.

На ри­сун­ке видно, что зна­че­нию ко­си­ну­са  со­от­вет­ству­ют углы 

Ответ: 

 6. Вывод, заключение

Мы вы­яс­ни­ли при­чи­ны пе­ри­о­дич­но­сти три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, уста­но­ви­ли, что синус и ко­си­нус имеют много пе­ри­о­дов – все числа вида   наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од для функ­ций 

На­ли­чие пе­ри­о­да мы ис­поль­зо­ва­ли для ис­сле­до­ва­ния функ­ций и ре­ше­ния ти­по­вых задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/periodichnost-funktsiy-y-sin-t-y-cos-t

http://www.youtube.com/watch?v=se--GY50mOc

http://www.youtube.com/watch?v=VewpCn5ONrM

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-formuly-privedeniya.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-2-trigonometricheskie-funktsii/12-periodichnost-funktsij-usin-h-ucos-h/9

http://st03.kakprosto.ru/tumb/680/images/article/2011/12/5/1_5254fde28bc425254fde28bc7f.jpg

http://mypresentation.ru/documents/0a6fa28a0d584313f282da904be4f5fd/img6.jpg

http://v.5klass.net/zip/2418f24263056cb69cc9115af959108a.zip

http://chaulitasjo.science/pic-zadacha.uanet.biz/uploads/61/76/6176c60983745d17f71a3337ee5c8100/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B7%D0%BB%D1%8F%D0%BA-%D0%90.%D0%93.-%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%92.%D0%91.-%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%95.%D0%9C.-%D0%AF%D0%BA%D0%B8%D1%80-%D0%9C.%D0%A1.-%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F.-%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BA-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D1%83.-8-11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-1998.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

Файлы