10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Формулы приведения.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Формулы приведения.

Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида π+t,π−t,2π+t,2π−t, ...

Комментарии преподавателя

Фор­му­лы при­ве­де­ния

 1. Тема урока, введение

Фор­му­лы при­ве­де­ния пред­на­зна­че­ны для того, чтобы при­ве­сти три­го­но­мет­ри­че­скую функ­цию про­из­воль­но­го угла  к три­го­но­мет­ри­че­ской функ­ции наи­мень­ше­го из углов.

 2. Суть формул приведения

Рас­смот­рим кон­крет­ный при­мер. Рас­смот­рим дуги в  и, со­от­вет­ствен­но, (рис. 1).

 как пря­мо­уголь­ные по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу 

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон.

Функ­ции боль­ше­го угла при­ве­де­ны к функ­ци­ям мень­ше­го угла. В этом суть фор­мул при­ве­де­ния.

Для при­ме­не­ния фор­мул при­ве­де­ния три­го­но­мет­ри­че­скую функ­цию лю­бо­го угла нужно при­ве­сти к од­но­му из видов: .

 3. Два правила формул приведения, примеры.

Фор­мул при­ве­де­ния много, но все они под­чи­ня­ют­ся двум пра­ви­лам:

Пер­вое пра­ви­ло:

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, т.е. синус на ко­си­нус и на­о­бо­рот, тан­генс на ко­тан­генс и на­о­бо­рот.

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция не ме­ня­ет­ся.

При­ме­ры на пер­вое пра­ви­ло:

Знак пока не учи­ты­ва­ем, он опре­де­ля­ет­ся вто­рым пра­ви­лом, пока важно по­нять, в каких слу­ча­ях функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, а в каких не ме­ня­ет­ся.

1) 

2) 

3) 

4) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции сле­ду­ет из­ме­нить на ко­функ­цию.

5) 

6) 

7) 

8) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции не ме­ня­ет­ся.

Вто­рое пра­ви­ло (для знака при­ве­ден­ной функ­ции, функ­ции угла ).

1) Счи­та­ем угол  ост­рым, 

2) Опре­де­ля­ем чет­верть и знак в ней при­во­ди­мой функ­ции (функ­ции слева).

3) Ста­вим этот знак перед при­ве­ден­ной к углу  функ­ци­ей (функ­ци­ей спра­ва).

При­ме­ча­ние: Угол  может быть любым, ост­рым мы его счи­та­ем услов­но, для при­ме­не­ния пра­ви­ла.

При­ме­ры на вто­рое пра­ви­ло:

1)  

Рис. 2.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти , ста­вим знак плюс.

2) 

Рис

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

3) 

Рис. 4.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

4) 

Рис. 5.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

5) 

Рис. 6.

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

6) 

Рис. 7.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

7) 

Рис. 8.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

8) 

Рис. 9.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные при­ме­ры при­ме­не­ния пер­во­го и вто­ро­го пра­вил фор­мул при­ве­де­ния.

 4. Приемы, облегчающие запоминание формул приведени

Рас­смот­рим при­е­мы, об­лег­ча­ю­щие за­по­ми­на­ние фор­мул при­ве­де­ния.

1. «Пра­ви­ло ло­ша­ди». Глядя на чис­ло­вую окруж­ность легко от­ве­тить на во­прос, ме­ня­ет­ся ли функ­ция на ко­функ­цию.

Для ар­гу­мен­тов , т.е. ар­гу­мен­тов, от­ло­жен­ных от вер­ти­каль­ной оси, на во­прос, ме­ня­ет­ся ли функ­ция  на ко­функ­цию, ло­шадь, глядя на точки , будет утвер­ди­тель­но ки­вать – функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию (рис. 10)  .

Для ар­гу­мен­тов  , т.е. ар­гу­мен­тов, от­ло­жен­ных от го­ри­зон­таль­ной оси, ло­шадь, глядя на точки  будет от­ри­ца­тель­но мо­тать го­ло­вой – функ­ция не ме­ня­ет­ся (рис. 10)  .

2. Ис­поль­зу­ем пе­ри­о­дич­ность и чет­ность.

Вспом­ним, что наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од у тан­ген­са и ко­тан­ген­са равен  Это зна­чит, что

На­при­мер, 

У си­ну­са и ко­си­ну­са наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од равен 

На­при­мер,

 5. Задачи

Рас­смот­рим при­ме­ры на ис­поль­зо­ва­ние фор­мул при­ве­де­ния.

1) Вы­чис­лить зна­че­ния всех три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций для 

Ре­ше­ние (рис. 11).

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, синус в этой чет­вер­ти по­ло­жи­те­лен, ко­си­нус, тан­генс и ко­тан­генс от­ри­ца­тель­ны.

2) Вы­чис­лить зна­че­ния всех три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций угла 

Ре­ше­ние (рис. 12).

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти, в тре­тьей чет­вер­ти синус и ко­си­нус от­ри­ца­тель­ны, тан­генс и ко­тан­генс по­ло­жи­тель­ны.

 

 6. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли фор­му­лы при­ве­де­ния и по­яс­ни­ли их на кон­крет­ных при­ме­рах. В даль­ней­шем мы будем ак­тив­но ис­поль­зо­вать фор­му­лы при­ве­де­ния для пре­об­ра­зо­ва­ния три­го­но­мет­ри­че­ских вы­ра­же­ний.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/formuly-privedeniya

http://www.youtube.com/watch?v=n89ZZG_-5Rk

http://www.youtube.com/watch?v=hIdkqqv8Qx4

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-formuly-privedeniya.pdf

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-formuly-privedeniya.pptx

Файлы