10 класс. Алгебра. Числовые функции. Свойства функций.

10 класс. Алгебра. Числовые функции. Свойства функций.

Если функция y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, ...

Комментарии преподавателя

 Функция из X в Y, прямая и обратная задачи, пример обратной задачи. Примеры для разъяснения

Пусть за­да­на функ­ция , мно­же­ство  и мно­же­ство . Функ­ция из  в  Каж­до­му эле­мен­ту из пер­во­го мно­же­ства  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ный эле­мент вто­ро­го мно­же­ства . С этой функ­ци­ей свя­за­но две ос­нов­ные за­да­чи:

1 за­да­ча – пря­мая. Вы­чис­лить зна­че­ние функ­ции по за­дан­но­му зна­че­нию ар­гу­мен­та.

за­да­но, необ­хо­ди­мо вы­чис­лить 

2 за­да­ча – об­рат­ная. Найти те зна­че­ния ар­гу­мен­та, при ко­то­рых функ­ция при­ни­ма­ет за­дан­ное зна­че­ние . За­да­ем , далее необ­хо­ди­мо ре­шить урав­не­ние , ко­то­рое может иметь одно ре­ше­ние, вто­рое ре­ше­ние и т. д. 

При­мер об­рат­ной за­да­чи: тре­бу­ет­ся найти время  для до­сти­же­ния ра­ке­той за­дан­ной вы­со­ты, са­мо­ле­том ско­ро­сти звука, ав­то­мо­би­лем за­дан­ной ско­ро­сти 100 км/ч. Нас будет ин­те­ре­со­вать такая об­рат­ная за­да­ча, ко­то­рая имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

 Пример №1

Пусть  – мно­же­ство слов. Слово – ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность букв, смысл здесь не важен.  – мно­же­ство слов из тех же букв, но за­пи­сан­ных в об­рат­ном по­ряд­ке.

На­при­мер: .

Итак, за­да­на функ­ция, два мно­же­ства и со­от­вет­ствие между ними. Об­рат­ная за­да­ча для этой функ­ции имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Слову «ток» из мно­же­ства  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное слово «кот» из мно­же­ства .

 Пример №2

Пусть за­да­но мно­же­ство , со­сто­я­щее из двух эле­мен­тов  и мно­же­ство , со­сто­я­щее также из двух эле­мен­тов . Для этих мно­же­ство воз­мож­но че­ты­ре функ­ции :

а) 1→3 б)1→4

 2→4 2→3

Нас ин­те­ре­су­ет ко­ли­че­ство ре­ше­ний в об­рат­ной за­да­че. Рас­смот­рим первую функ­цию. Мы видим, что 3 со­от­вет­ству­ет толь­ко один эле­мент и 4 со­от­вет­ству­ет толь­ко один эле­мент, ана­ло­гич­но и во вто­рой функ­ции. Таким об­ра­зом, об­рат­ная за­да­ча для этих двух функ­ций имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. За­пи­шем еще две функ­ции:

в)1→3 г)1→4

 2→3 2→4

Каж­до­му эле­мен­ту из пер­во­го мно­же­ства со­от­вет­ству­ет един­ствен­ный эле­мент из вто­ро­го мно­же­ства. Об­рат­ная за­да­ча имеет здесь не един­ствен­ное ре­ше­ние. 3 со­от­вет­ству­ет пара эле­мен­тов 1 и 2, также 4 со­от­вет­ству­ет пара эле­мен­тов 1 и 2.

Итак, мы рас­смот­ре­ли вто­рой при­мер и вы­яс­ни­ли, что об­рат­ная за­да­ча может иметь един­ствен­ное ре­ше­ние или нет. Здесь до­воль­но про­стой слу­чай, так как воз­мо­жен пе­ре­бор. Да­вай­те рас­смот­рим слу­чаи, когда пе­ре­бор невоз­мо­жен.

 Пример №3

Чис­ло­вая функ­ция . Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции – мно­же­ство всеx по­ло­жи­тель­ных чисел: . Мы знаем гра­фик этой функ­ции. На­ри­су­ем его схе­ма­ти­че­ски (рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Нас ин­те­ре­су­ет об­рат­ная за­да­ча, то есть сколь­ко ре­ше­ний имеет она при за­дан­ном . Пе­ре­бор здесь невоз­мо­жен, од­на­ко можно про­сто ре­шить урав­не­ние , если  задан, то . При любом  един­ствен­ный.

 Пример №4

Об­ласть опре­де­ле­ния . На­ри­су­ем схе­ма­тич­ный гра­фик этой функ­ции (рис. 2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции , об­ласть опре­де­ле­ния .

Вот ветвь па­ра­бо­лы – гра­фик дан­ной функ­ции. Нас ин­те­ре­су­ет об­рат­ная за­да­ча. Сколь­ко ре­ше­ний она имеет. Здесь также можно ре­шить урав­не­ние.

. При любом до­пу­сти­мом  – един­ствен­ное число.

 Пример №5

, об­ласть опре­де­ле­ния – все дей­стви­тель­ные числа, . Гра­фик этой функ­ции нам из­ве­стен – па­ра­бо­ла (рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик функ­ции , об­ласть опре­де­ле­ния – все дей­стви­тель­ные числа

Итак, нам необ­хо­ди­мо узнать, сколь­ко ре­ше­ний имеет об­рат­ная за­да­ча. Если , то легко ви­деть, что 16 до­сти­га­ет­ся и при -4, и при +4. Таким об­ра­зом, урав­не­ние  имеет не един­ствен­ное ре­ше­ние.

Сле­ду­ет от­ме­тить, что един­ствен­ное ре­ше­ние об­рат­ная за­да­ча имеет для мо­но­тон­ных функ­ций. В при­ме­ре 3 функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет, каж­дый  до­сти­га­ет­ся при одном зна­че­нии . В при­ме­ре 4 функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, то есть каж­дый y до­сти­га­ет­ся толь­ко при одном зна­че­нии x.

 Повторение: монотонная функция

Чис­ло­вую функ­цию  на­зы­ва­ют воз­рас­та­ю­щей или убы­ва­ю­щей на мно­же­стве  ∈ , если для любых чисел  , таких, что , имеем , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции. Чем боль­ше ар­гу­мент, тем боль­ше функ­ция, эта функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет.

Если боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции, то есть , то такую функ­цию на­зы­ва­ют убы­ва­ю­щей.

 Теорема 1

Пусть  – мо­но­тон­ная функ­ция. Тогда урав­не­ние  имеет един­ствен­ное ре­ше­ние  для лю­бо­го  из мно­же­ства зна­че­ний функ­ции.

Пред­по­ло­жим, что функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на от­рез­ке  при­ни­ма­ет зна­че­ние из от­рез­ка  (рис. 4). Необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что любое зна­че­ние  эта мо­но­тон­ная функ­ция при­ни­ма­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та .

Рис. 4. Гра­фик функ­ции 

До­ка­за­тель­ство

До­ка­жем ме­то­дом от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что су­ще­ству­ет такое зна­че­ние  из мно­же­ства зна­че­ний функ­ции, что урав­не­ние  имеет не един­ствен­ное ре­ше­ние. На­при­мер, два ре­ше­ния . Если это так, тогда зна­че­ние в точке ==, но функ­ции мо­но­тон­ны, зна­чит,  или . По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние было невер­но. При любом зна­че­нии  об­рат­ная за­да­ча для мо­но­тон­ной функ­ции имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Ком­мен­та­рии: мо­но­тон­ность га­ран­ти­ру­ет, что бес­чис­лен­ное мно­же­ство таких урав­не­ний  имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

(По­че­му их бес­чис­лен­ное мно­же­ство? По­то­му что в мно­же­стве зна­че­ний бес­чис­лен­ное мно­же­ство .)

 Определение обратной функции

Пусть  – мо­но­тон­ная функ­ция. До­ка­за­но, что урав­не­ние , имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при любом . Это озна­ча­ет, что закон, ко­то­рый со­по­став­ля­ет каж­до­му числу  един­ствен­ное ре­ше­ние  урав­не­ния , также яв­ля­ет­ся функ­ци­ей с об­ла­стью опре­де­ле­ния  и мно­же­ством зна­че­ний . Эта функ­ция на­зы­ва­ет­ся об­рат­ной к функ­ции  и обо­зна­ча­ет­ся . Функ­ция , об­рат­ная функ­ция, уста­нав­ли­ва­ет вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между мно­же­ства­ми  и  – мно­же­ство зна­че­ний ис­ход­ной функ­ции.  – об­ласть опре­де­ле­ния ис­ход­ной функ­ции. В силу опре­де­ле­ния об­рат­ной функ­ции, ее гра­фик – мно­же­ство точек . На­пом­ним, что гра­фи­ком пря­мой функ­ции яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек вида .

Есте­ствен­но, что гра­фи­ки пря­мой и об­рат­ной функ­ции ка­ким-то об­ра­зом вза­и­мо­свя­за­ны между собой.

 Теорема 2

Гра­фи­ки пря­мой и об­рат­ной функ­ций сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой . Гра­фик пря­мой функ­ции . Гра­фик об­рат­ной функ­ции .

До­ка­зать:  и  сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но .

До­ка­за­тель­ство.

Рис. 5. Гра­фи­ки пря­мой функ­ции  и об­рат­ной функ­ций 

Имеем пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и тре­уголь­ник  (рис. 5). Они равны по двум ка­те­там, зна­чит, ги­по­те­ну­зы равны. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный. Из ра­вен­ства углов 1 и 2 сле­ду­ет ра­вен­ство углов 3 и 4, зна­чит, в этом тре­уголь­ни­ке пря­мая  – бис­сек­три­са, то есть ось сим­мет­рии этого тре­уголь­ни­ка,  яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, и вы­со­той. Зна­чит, точки  и  сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой , зна­чит, гра­фи­ки пря­мой и об­рат­ной функ­ции сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но дан­ной пря­мой.

 Следствие из теоремы 2

Из тео­ре­мы вы­те­ка­ет оди­на­ко­вый ха­рак­тер мо­но­тон­но­сти пря­мой функ­ции  и об­рат­ной функ­ции . То есть обе функ­ции од­но­вре­мен­но либо мо­но­тон­но воз­рас­та­ют, либо мо­но­тон­но убы­ва­ют.

 Методика построения обратной функции и построение ее графика

По­го­во­рим о ме­то­ди­ке по­стро­е­ния об­рат­ной функ­ции и о ме­то­ди­ке по­стро­е­ния гра­фи­ка об­рат­ной функ­ции. Нам дано: функ­ция  мо­но­тон­на. Тре­бу­ет­ся найти об­рат­ную функ­цию и по­стро­ить ее гра­фик.

Рис. 6. Гра­фи­ки воз­рас­та­ю­щих функ­ций и гра­фи­ки убы­ва­ю­щих функ­ций

Ри­су­ем пря­мую , далее гра­фик пря­мой функ­ции  мы знаем, что гра­фик об­рат­ной функ­ции сим­мет­ри­чен ему от­но­си­тель­но .

 

Рис. 7. По­стро­е­ние гра­фи­ка об­рат­ной функ­ции

Таким об­ра­зом, прин­цип по­стро­е­ния по­ня­тен. Мы можем по­лу­чить гра­фик об­рат­ной функ­ции, от­ра­зив гра­фик пря­мой функ­ции от­но­си­тель­но пря­мой . Чтобы по­лу­чить саму об­рат­ную функ­цию, необ­хо­ди­мо ре­шить урав­не­ние .

Дру­ги­ми сло­ва­ми,  вы­ра­жа­ем через  и по­лу­ча­ем , это в осях , ме­ня­ем ме­ста­ми  и  для удоб­ства вос­при­я­тия:  в осях . Ар­гу­мент по оси , функ­ция по оси .

При­ве­дем при­мер.

За­да­на пря­мая функ­ция. Мы знаем, что эта функ­ция мо­но­тон­на, зна­чит, су­ще­ству­ет об­рат­ная функ­ция. Имеем функ­цию , после пе­ре­обо­зна­че­ния по­лу­ча­ем удоб­ную для нас функ­цию .

По­стро­им гра­фи­ки (рис. 8).

Рис. 8. По­стро­е­ние гра­фи­ков пря­мой и об­рат­ной функ­ций

Ось сим­мет­рии , гра­фик пря­мой функ­ции – па­ра­бо­ла , про­хо­дит через точки (0;0) и через точку (1;1). Гра­фик об­рат­ной функ­ции про­хо­дит через те же точки, эти точки лежат на оси сим­мет­рии.

Вывод

Мы рас­смот­ре­ли общую ме­то­ди­ку по­стро­е­ния гра­фи­ков об­рат­ной функ­ции и при­ве­ли кон­крет­ный при­мер. Таким об­ра­зом, мы узна­ли, что такое об­рат­ная функ­ция, узна­ли, что мо­но­тон­ная функ­ция имеет об­рат­ную себе.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/chislovye-funktsii/obratnaya-funktsiya

http://www.youtube.com/watch?v=_Si6Qp7kTjo

http://www.youtube.com/watch?v=Vn1Lchb1a9Y

http://compendium.su/mathematics/algebra10/7.html

http://www.cleverstudents.ru/functions/inverse_functions.html

http://900igr.net/datas/algebra/Obratnaja-funktsija/0010-010-1.jpg

http://blank-obligatsii-skachat.ru/wp-content/uploads/2015/09/22-09-2015-00-05-05-algfunkzii8.jpg

http://shygysdaryny.kz/media/img/blogs/522da822af00b.jpg

http://cs1-32v4.vk-cdn.net/p16/3504f4762b6352.mp3?extra=OKZBo9W3DA4nyu8xN8cGTsQID9dnvGSgB9EFyblgQprcz5atKSNGB-jugPzd4J6N33eJIYmF4CKUtkAXBSsDM9fuZN43ETkY

 

Файлы