10 класс. Алгебра. Числовые функции. Свойства функций.

10 класс. Алгебра. Числовые функции. Свойства функций.

Функция возрастает, если ...

Комментарии преподавателя

 Определение функции, области определения и значения функции

Пусть  – чис­ло­вое мно­же­ство.

Опре­де­ле­ние. Функ­ци­ей  на­зы­ва­ет­ся закон, ко­то­рый каж­до­му числу  ста­вит в со­от­вет­ствие един­ствен­ное число :

Это опре­де­ле­ние чис­ло­вой функ­ции. Но ис­поль­зу­ет­ся стан­дарт­ная тер­ми­но­ло­гия:

 – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная (ар­гу­мент);

 – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная;

мно­же­ство  на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции и обо­зна­ча­ет­ся .

Важ­ным яв­ля­ет­ся мно­же­ство зна­че­ний функ­ции. Оно обо­зна­ча­ет­ся через  и это мно­же­ство всех , таких что :

 – об­ласть зна­че­ний функ­ции.

Итак, мы по­вто­ри­ли, что такое функ­ция, а также что такое об­ласть опре­де­ле­ния и мно­же­ство зна­че­ний функ­ции.

 Пример нахождения области определения и области значений функции

Пусть . Су­ще­ству­ет закон, со­глас­но ко­то­ро­му берем  (ар­гу­мент) и воз­во­дим в квад­рат. Но в пер­вой функ­ции все это про­ис­хо­дит на мно­же­стве , а во вто­рой функ­ции все это про­ис­хо­дит на мно­же­стве . Итак, есть закон, есть об­ласть опре­де­ле­ния – одна функ­ция. Есть тот же закон и дру­гая об­ласть опре­де­ле­ния – дру­гая функ­ция. По­стро­им гра­фи­ки этих функ­ций (рис. 1).

1.                              2. 

Графики функций             Графики функций

Рис. 1. Гра­фи­ки функ­ций

Имеем, ветвь па­ра­бо­лы – это для пер­вой функ­ции. Для вто­рой функ­ции –  – это об­ласть опре­де­ле­ния. В точке (-1) функ­ция равна 1: , в точке 2 – функ­ция равна 4: , про­хо­дит через 0: . Это часть па­ра­бо­лы (рис. 1).

Одна точка с ко­ор­ди­на­та­ми , а вто­рая точка с ко­ор­ди­на­та­ми .

Итак, мы имеем две функ­ции – гра­фик пер­вой функ­ции и гра­фик вто­рой функ­ции. Об­ласть опре­де­ле­ния за­да­на.

Мно­же­ство зна­че­ний – это про­ек­ция гра­фи­ка функ­ции на ось . На гра­фи­ке пер­вой функ­ции мно­же­ство зна­че­ний здесь – мно­же­ство всех неот­ри­ца­тель­ных чисел; на вто­ром – когда  ме­ня­ет­ся в пре­де­лах от -1 до 2, функ­ция ме­ня­ет­ся в пре­де­лах от 0 до 4. Пер­вая функ­ция ме­ня­ет­ся на луче, а вто­рая – на от­рез­ке.

Еще раз на­пом­ним важ­ные по­ня­тия – об­ласть опре­де­ле­ния и мно­же­ство зна­че­ний. Спро­ек­ти­ро­ва­ли гра­фик на ось  – по­лу­чи­ли об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции. Спро­ек­ти­ро­ва­ли гра­фик на ось  – по­лу­чи­ли мно­же­ство зна­че­ний функ­ции.

Раз­ли­ча­ют функ­ции огра­ни­чен­ные и не огра­ни­чен­ные снизу или свер­ху. Дадим опре­де­ле­ние.

 Ограниченность функции

Функ­ция  на­зы­ва­ет­ся огра­ни­чен­ной снизу на мно­же­стве , если су­ще­ству­ет такое число , что  при любом . По­яс­нить его легко. Вот дан­ная функ­ция (рис. 2, слева):

Графики функций

Рис. 2. Гра­фи­ки функ­ций

Она ме­ня­ет­ся в этих пре­де­лах (рис. 3).

Область значений первой функции

Рис. 3. Об­ласть зна­че­ний пер­вой функ­ции

Зна­чит, если взять число, на­при­мер  (), то при любом зна­че­нии  функ­ция боль­ше, чем , зна­чит, эта функ­ция огра­ни­че­на снизу. На­при­мер, чис­лом .

Ограниченность функции

Рис. 4. Огра­ни­чен­ность функ­ции

Но она не огра­ни­че­на свер­ху () – рис. 4.

А вот вто­рая функ­ция (рис. 5.). Она ме­ня­ет­ся в пре­де­лах от 0 до 4, зна­чит,  огра­ни­че­на и снизу и свер­ху. На­при­мер, чис­ла­ми  и 5 ().

Ограниченность второй функции

Рис. 5. Огра­ни­чен­ность вто­рой функ­ции

, если, ко­неч­но,  ме­ня­ет­ся в раз­ре­шен­ных пре­де­лах (в пре­де­лах от  до 2).

Итак, мы рас­смот­ре­ли функ­ции, огра­ни­чен­ные и не огра­ни­чен­ные свер­ху и снизу.

Пер­вая функ­ция имеет наи­мень­шее зна­че­ние. Что это озна­ча­ет? Ее наи­мень­шее зна­че­ние – зна­че­ние 0 (). Это озна­ча­ет, что 0 до­сти­га­ет­ся в ка­кой-то точке.  – пер­вое усло­вие, и вто­рое усло­вие –  Зна­чит, эта функ­ция имеет наи­мень­шее зна­че­ние.

Вто­рая функ­ция имеет и наи­мень­шее, и наи­боль­шее зна­че­ния (). По­че­му? Во-пер­вых, 0 до­сти­га­ет­ся (), во-вто­рых,  при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях  боль­ше либо равен 0 (). А до­пу­сти­мый  мы знаем, это  по опре­де­ле­нию. У функ­ции также есть наи­боль­шее зна­че­ние. . Что это озна­ча­ет? Это озна­ча­ет, что су­ще­ству­ет такая точка, что функ­ция до­сти­га­ет зна­че­ния 4 ( при всех .

 Выпуклость функции (вверх, вниз)

Сле­ду­ю­щее важ­ное свой­ство функ­ции – это ее вы­пук­лость вверх либо вы­пук­лость вниз. По­яс­ним его. Возь­мем гра­фик неко­то­рой функ­ции. Пусть он ведет себя таким об­ра­зом (рис. 6).

График выпуклой вниз функции

Рис. 6. Гра­фик вы­пук­лой вниз функ­ции

И гра­фик вто­рой функ­ции. Пусть он ведет себя таким об­ра­зом (рис. 7).

График выпуклой вверх функции

Рис. 7. Гра­фик вы­пук­лой вверх функ­ции

Чем они от­ли­ча­ют­ся? Возь­мем две точки на гра­фи­ке – про­из­воль­ные точки  Есть дуга и хорда – от­ре­зок АВ. Какие бы мы точки ни взяли – дуга лежит под хор­дой (под от­рез­ком). На вто­ром гра­фи­ке возь­мем точки  Дуга на­хо­дит­ся над хор­дой (от­рез­ком) – рис. 8.

Иллюстрация выпуклости функции

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция вы­пук­ло­сти функ­ции

Го­во­рят, что эта функ­ция вы­пук­ла вниз (дуга внизу), а вто­рая – вы­пук­ла вверх (дуга на­хо­дит­ся над от­рез­ком). Те­перь мы го­то­вы к стро­го­му опре­де­ле­нию.

Функ­ция  на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лой вниз или вы­пук­лой вверх на про­ме­жут­ке , если любая дуга гра­фи­ка функ­ции на этом про­ме­жут­ке лежит ниже или выше от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го концы дуги.

При­ве­дем несколь­ко кон­крет­ных при­ме­ров.

Гра­фик этой функ­ции – па­ра­бо­ла. Возь­мем любые две точки (А и В), со­еди­ним их. Дуга (кри­вая) лежит ниже (лежит под этим от­рез­ком). Зна­чит, эта функ­ция вы­пук­ла вниз (рис. 9).

Иллюстрация выпуклости вниз

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция вы­пук­ло­сти вниз

Рас­смот­рим еще одну функ­цию.

На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик этой функ­ции. Возь­мем любые две точки (А и В), не важно, да­ле­ко ли они от­сто­ят друг от друга или близ­ко. Кри­вая на­хо­дит­ся свер­ху хорды – эта функ­ция вы­пук­ла вверх (рис. 10).

Иллюстрация выпуклости вверх

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция вы­пук­ло­сти вверх

Итак, мы дали общее опре­де­ле­ние функ­ции, вы­пук­лой вверх (вниз), и при­ве­ли кон­крет­ные при­ме­ры.

Преды­ду­щие при­ме­ры об­ла­да­ют тем свой­ством, что функ­ция на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния была вы­пук­ла вверх или вы­пук­ла вниз. Но так бы­ва­ет не все­гда. Вот функ­ция . Рас­смот­рим ее гра­фик – ку­би­че­ская па­ра­бо­ла. Зна­чит, име­ет­ся одна вы­пук­лость на мно­же­стве . На от­рез­ке АВ функ­ция вы­пук­ла вверх. А на дру­гом мно­же­стве  точка С и D, от­ре­зок (хорда), дуга (часть кри­вой) лежит ниже – функ­ция вы­пук­ла вниз – рис. 11.

График кубической параболы

Рис. 11. Гра­фик ку­би­че­ской па­ра­бо­лы

Таким об­ра­зом, эта функ­ция на одном участ­ке вы­пук­ла вверх, а на дру­гом – вы­пук­ла вниз.

Стро­гое до­ка­за­тель­ство вы­пук­ло­сти кон­крет­ных функ­ций мы здесь не при­во­дим. Огра­ни­чи­ва­ем­ся на­гляд­но-ин­ту­и­тив­ны­ми пред­став­ле­ни­я­ми.

 Непрерывность функции

Сле­ду­ю­щее важ­ное по­ня­тие – это непре­рыв­ность функ­ции. При изу­че­нии функ­ции часто бы­ва­ет нужно оха­рак­те­ри­зо­вать, на­сколь­ко плав­но ме­ня­ет­ся функ­ция. Непре­рыв­ность – одно из свойств, ко­то­рое ха­рак­те­ри­зу­ет плав­ность из­ме­не­ния функ­ции. Дадим стро­гое опре­де­ле­ние.

Пусть  – чис­ло­вая функ­ция. На­ри­су­ем ее гра­фик (схе­ма­ти­че­ски) – рис. 12.

График числовой функции

Рис. 12. Гра­фик чис­ло­вой функ­ции

Итак, вы­бе­рем про­из­воль­ное дей­стви­тель­ное число  и рас­смот­рим пря­мую . И пусть гра­фик об­ла­да­ет сле­ду­ю­щим свой­ством: если точка А на­хо­дит­ся над пря­мой, то и все точки гра­фи­ка с до­ста­точ­но близ­ки­ми абс­цис­са­ми тоже на­хо­дят­ся над пря­мой. Если точка В на­хо­дит­ся под пря­мой, то все точки с до­ста­точ­но близ­ки­ми абс­цис­са­ми тоже на­хо­дят­ся под пря­мой (рис. 13).

Иллюстрация непрерывности функции

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция непре­рыв­но­сти функ­ции

Функ­ция на­зы­ва­ет­ся непре­рыв­ной, если она об­ла­да­ет ука­зан­ным свой­ством для всех дей­стви­тель­ных . Та­ко­во опре­де­ле­ние функ­ции, непре­рыв­ной на дан­ном мно­же­стве.

При­ве­дем при­мер функ­ции, ко­то­рая не об­ла­да­ет ука­зан­ным свой­ством.

Пусть . Для на­гляд­но­сти по­стро­им гра­фик этой функ­ции.

При любом от­ри­ца­тель­ном  функ­ция равна -1. Если ар­гу­мент равен 0, функ­ция равна +1, и для всех по­ло­жи­тель­ных ар­гу­мен­тов функ­ция рав­ня­ет­ся +1. Ниже видим гра­фик функ­ции (рис. 14).

Пример разрывной функции

Рис. 14. При­мер раз­рыв­ной функ­ции

В точке 0 имеем на­ру­ше­ние ука­зан­ных свойств. Возь­мем, на­при­мер, . Есть точка, ко­то­рая на­хо­дит­ся над этой пря­мой, но не все точки с близ­ки­ми абс­цис­са­ми на­хо­дят­ся над этой пря­мой. Если абс­цис­са от­ри­ца­тель­на, то со­от­вет­ству­ю­щая точка гра­фи­ка на­хо­дит­ся под пря­мой. На всей об­ла­сти опре­де­ле­ния дан­ная функ­ция не яв­ля­ет­ся непре­рыв­ной. Еще раз вер­нем­ся к опре­де­ле­нию. Возь­мем про­из­воль­ное , любую точку А, если она на­хо­дит­ся над пря­мой, то все точки с до­ста­точ­но близ­ки­ми абс­цис­са­ми на­хо­дят­ся над пря­мой; если точка В на­хо­дит­ся под пря­мой, то все точки, с до­ста­точ­но близ­ки­ми абс­цис­са­ми на­хо­дят­ся тоже под пря­мой. Такие функ­ции (с та­ки­ми свой­ства­ми) для любых  на­зы­ва­ют­ся непре­рыв­ны­ми.

Ино­гда го­во­рят, что функ­ция непре­рыв­на, если ее гра­фик ри­су­ет­ся без от­ры­ва ка­ран­да­ша (ручки) от листа бу­ма­ги. Ниже пред­став­ле­на непре­рыв­ная функ­ция – ее гра­фик можно на­ри­со­вать, не от­ры­вая ка­ран­даш от листа бу­ма­ги (рис. 15).

Иллюстрация свойства непрерывной функции

Рис. 15. Ил­лю­стра­ция свой­ства непре­рыв­ной функ­ции

Гра­фик функ­ции на рис. 16 нель­зя на­ри­со­вать без от­ры­ва ка­ран­да­ша. Дойдя до -1, нужно при­под­нять ка­ран­даш и на­ри­со­вать остав­шу­ю­ся часть гра­фи­ка. Эта функ­ция не яв­ля­ет­ся непре­рыв­ной (рис. 16).

Иллюстрация свойства разрывной функции

Рис. 16. Ил­лю­стра­ция свой­ства раз­рыв­ной функ­ции

При­мем без до­ка­за­тель­ства сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние.

Если вы­ра­же­ние  со­став­ле­но из ра­ци­о­наль­ных, ир­ра­ци­о­наль­ных, три­го­но­мет­ри­че­ских вы­ра­же­ний, то функ­ция  будет непре­рыв­на на есте­ствен­ной об­ла­сти опре­де­ле­ния.

 Метод интервалов

Непре­рыв­ность функ­ции лежит в ос­но­ве ме­то­да ин­тер­ва­лов для ре­ше­ния нера­венств. Суть этого ме­то­да ос­но­ва­на на сле­ду­ю­щем утвер­жде­нии. По­яс­ним его ри­сун­ком. Вот гра­фик функ­ции (рис. 17).

Иллюстрация метода интервалов

Рис. 17. Ил­лю­стра­ция ме­то­да ин­тер­ва­лов

Если функ­ция, непре­рыв­ная на от­рез­ке , имеет на кон­цах этого от­рез­ка раз­ные знаки, то на от­рез­ке  су­ще­ству­ет хотя бы один ко­рень дан­ной функ­ции. Функ­ция в т.  от­ри­ца­тель­ная, в т.  функ­ция по­ло­жи­тель­ная, функ­ция непре­рыв­на, зна­чит, рисуя без от­ры­ва гра­фик этой функ­ции, мы хоть раз долж­ны пе­ре­сечь ось . В дан­ном слу­чае имеем три корня (). Но тео­ре­ма утвер­жда­ет, что дол­жен быть хотя бы один ко­рень. От­сю­да сле­ду­ет, что непре­рыв­ная функ­ция может из­ме­нить знак толь­ко при пе­ре­хо­де ар­гу­мен­та через корни функ­ции или через точки раз­ры­ва и ее об­ла­сти опре­де­ле­ния. В этой точке функ­ция имеет по­ло­жи­тель­ный знак (рис. 18).

 Иллюстрация метода интервалов

Рис. 18. Ил­лю­стра­ция ме­то­да ин­тер­ва­лов

Зна­че­ние функ­ции по­ло­жи­тель­ное. Зна­чит, на всем ин­тер­ва­ле функ­ция по­ло­жи­тель­на.

В этой точке функ­ция от­ри­ца­тель­ная (рис. 19).

Иллюстрация метода интервалов

Рис. 19. Ил­лю­стра­ция ме­то­да ин­тер­ва­лов

Зна­чит, на всем ин­тер­ва­ле функ­ция от­ри­ца­тель­ная. В этом и есть смысл ме­то­да ин­тер­ва­лов. Он це­ли­ком и пол­но­стью ос­но­ван на свой­стве непре­рыв­но­сти функ­ции.

 Чётные/нечётные функции и функции общего вида

Среди мно­же­ства всех функ­ций вы­де­ля­ют чет­ные функ­ции и нечет­ные функ­ции. Дадим опре­де­ле­ние. Пусть для всех  из об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции () вы­пол­не­ны сле­ду­ю­щие два усло­вия.

1. Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но точки . Что это озна­ча­ет? Если функ­ция су­ще­ству­ет  т. , то она су­ще­ству­ет и в т. . Если функ­ция опре­де­ле­на на от­рез­ке, то на сим­мет­рич­ном от­но­си­тель­но 0 от­рез­ке функ­ция тоже опре­де­ле­на. Зна­чит, речь идет о таких функ­ци­ях: если . Это пер­вое свой­ство. Если оно не вы­пол­не­но, то чет­но­стью или нечет­но­стью функ­ция не об­ла­да­ет.

2.   для всех  из об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Итак, если функ­ция об­ла­да­ет этими двумя свой­ства­ми, то она на­зы­ва­ет­ся чет­ной. Если , то она на­зы­ва­ет­ся нечет­ной.

Итак, мы дали опре­де­ле­ние чет­ной функ­ции и нечет­ной функ­ции.

Мы вы­яс­ни­ли, что функ­ция может быть чет­ной или нечет­ной. Далее мы рас­смот­рим очень важ­ное свой­ство чет­ной функ­ции и важ­ное свой­ство нечет­ной функ­ции.

Итак, рас­смот­рим сна­ча­ла чет­ную функ­цию. В т.  функ­ция опре­де­ле­на, зна­че­ние функ­ции равно . Точка  – точка гра­фи­ка функ­ции. В точке  функ­ция тоже опре­де­ле­на, но зна­че­ние функ­ции в этой точке такое же. Зна­чит, точка с ко­ор­ди­на­та­ми  тоже лежит на гра­фи­ке функ­ции. Зна­чит, гра­фик чет­ной функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси  и можно изу­чить функ­цию при  и узнать свой­ство этой по функ­ции по сим­мет­рии от­но­си­тель­но . Так дело об­сто­ит с чет­ны­ми функ­ци­я­ми (рис. 20).

Рис. 20. Гра­фик чёт­ной функ­ции

Свой­ство нечет­ных функ­ций

В т.  функ­ция опре­де­ле­на, в т.  функ­ция также опре­де­ле­на. Зна­че­ние функ­ции в т. , в т.  рав­ня­ет­ся , зна­чит, эти точки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Гра­фик нечет­ной функ­ции об­ла­да­ет сим­мет­ри­ей от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. (рис. 21).

Иллюстрация к определению нечётной функции

Рис. 21. Ил­лю­стра­ция к опре­де­ле­нию нечёт­ной функ­ции

При­ве­дем при­ме­ры.

 – это при­ме­ры чет­ных функ­ций. На­при­мер, па­ра­бо­ла  – чет­ная функ­ция, сим­мет­рия гра­фи­ка от­но­си­тель­но оси .

 – при­ме­ры нечет­ных функ­ций. Гра­фик функ­ции  сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Далее, гра­фик функ­ции  – ку­би­че­ская па­ра­бо­ла, она нам тоже из­вест­на и сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Мы го­во­ри­ли, что эта функ­ция нечет­ная. Те­перь мы  умно­жим на  и раз­де­лим на :

.

Узна­ем, функ­ция чет­ная или нечет­ная. Во-пер­вых, ис­сле­ду­ем об­ласть опре­де­ле­ния: . Это озна­ча­ет невы­пол­не­ние пер­во­го тре­бо­ва­ния. В т. -1 функ­ция су­ще­ству­ет, в т. 1 функ­ция не су­ще­ству­ет. Зна­чит, эта функ­ция не об­ла­да­ет свой­ства­ми чет­но­сти или нечет­но­сти. Это функ­ция об­ще­го вида. Как вы­гля­дит ее гра­фик? Из­на­чаль­но это пря­мая , но те­перь на пря­мой мы вы­ко­ло­ли одну точку. По­лу­ча­ет­ся пря­мая с вы­ко­ло­той точ­кой (рис. 22).

Иллюстрация к примеру

Рис. 22. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Итак, мы рас­смот­ре­ли при­ме­ры чет­ных функ­ций, при­ме­ры нечет­ных функ­ций и при­мер функ­ции об­ще­го вида.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/chislovye-funktsii/svoystva-funktsiy

http://www.youtube.com/watch?v=7b9fMSRDGcA

http://u.900igr.net/zip/242765266ce294c33acd8f916ea7a17e.zip

http://studyport.ru/raznoe/shpargalki/matematika/32-oblast-opredelenija

http://studyport.ru/raznoe/shpargalki/matematika/33-mnozhestvo-znachenij-funktsii

http://studyport.ru/raznoe/shpargalki/matematika/34-grafik-funktsii-vozrastanie-i-ubyvanie-funktsii-periodichnost-chetnost-nechetnost

 

Файлы