7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то ...

Комментарии преподавателя

 Решение первой задачи по данной теме

Нач­нём урок с опре­де­лён­ной за­да­чи:

За­да­ча 1:

На по­верх­ность, со­сто­я­щую из двух пер­пен­ди­ку­ляр­но рас­по­ло­жен­ных зер­кал, па­да­ет луч света. До­ка­жи­те, что тра­ек­то­рия луча па­де­ния будет па­рал­лель­на тра­ек­то­рии угла от­ра­же­ния.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним разъ­яс­ни­тель­ный ри­су­нок к этой за­да­че.

Рис. 1. Угол­ко­вый от­ра­жа­тель к за­да­че 1

Рас­смот­рим луч SM. По за­ко­нам фи­зи­ки луч па­де­ния на по­верх­ность равен лучу от­ра­же­ния от по­верх­но­сти. Таким об­ра­зом, ∠AMS = ∠OMN = α. Луч MN па­да­ет на по­верх­ность NB и от­ра­жа­ет­ся, пе­ре­хо­дя в луч NT. Сле­до­ва­тель­но, ∠MNO = ∠TNB. Вы­ра­зим дан­ные углы через α. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MON ис­хо­дя из суммы ост­рых его углов имеем, что ∠OMN + ∠TNB = 900. От­сю­да ∠MNO = ∠TNB = 90о – α. Зная то, что углы ∠OMN, ∠MNT, ∠TNB об­ра­зу­ют раз­вёр­ну­тый угол, то

 .

Ана­ло­гич­но вы­ра­зим угол SMN = 180о – 2α. Рас­смот­рим пря­мые SM и NT, а также се­ку­щую MN. Сумма внут­рен­них од­но­сто­рон­них углов SMN и MNT равна . По­сколь­ку сумма внут­рен­них од­но­сто­рон­них углов при пря­мых SM и NT, а также се­ку­щей MN равна 180о, то пря­мые SM и NT па­рал­лель­ные.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Решение второй задачи по данной теме

За­да­ча 2:

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке угол при вер­шине равен 54о.Най­ди­те угол между вы­со­той, про­ве­дён­ной к бо­ко­вой сто­роне, и ос­но­ва­ни­ем тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 2. Чер­тёж к за­да­че 1

Дано, что CD = DE (по опре­де­ле­нию, так как тре­уголь­ник CDE – рав­но­бед­рен­ный). Угол при вер­шине ∠D = 54o. CF  DE.

Из­вест­но, что сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180о, а также по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, углы при ос­но­ва­нии равны. Сле­до­ва­тель­но, ∠DEC = .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник СЕF. В нём сумма ост­рых углов равна 90о. Сле­до­ва­тель­но, ∠FCE + ∠FEC = 900. От­сю­да, ∠FCE = 900 - ∠FEC = 90 - 63 = 27о.

Ответ: 27о.

 Решение третьей задачи по данной теме

За­да­ча 3:

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке с углом при вер­шине рав­ным 120о про­ве­де­на вы­со­та к бо­ко­вой сто­роне. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния, если длина вы­со­ты равна 9 см.

Ре­ше­ние:      

Вы­пол­ним ри­су­нок к за­да­че.

Рис. 3. Ри­су­нок к за­да­че 3

По­сколь­ку тре­уголь­ник АСВ – рав­но­бед­рен­ный, то, по его свой­ству, углы при ос­но­ва­нии равны, то есть ∠В = ∠С. По­сколь­ку сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 1800, най­дём угол С при ос­но­ва­нии ВС. ∠С = .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ВНС (∠Н = 90о, так как ВН – вы­со­та тре­уголь­ни­ка АВС). В дан­ном тре­уголь­ни­ке имеем катет ВН = 9 см, ко­то­рый лежит про­тив угла 30о. Зна­чит, по свой­ству, длина ВС равна удво­ен­ной длине ВН. ВС = 2ВН = 2*9 = 18 (см).

Ответ: 18 см.

 Решение четвёртой задачи по этой теме

За­да­ча 4: В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках АВС и А1В1С1 углы А и А1 равны 90о. Из­вест­но, что ∠В = ∠В1. От­рез­ки ВD и B1D1яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов В и В1 и равны между собой. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1 равны.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок к дан­ной за­да­че.

Рис. 4. Ри­су­нок к за­да­че 4

До­ка­жем ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков АВD и A1B1D1. В дан­ных тре­уголь­ни­ках из­вест­но, что ВD = B1D1, а из ра­вен­ства углов В и В1 сле­ду­ет ра­вен­ство углов АВD и A1B1D1. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки АВD и A1B1D1 равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу. Из ра­вен­ства ука­зан­ных тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АВ = А1В1.

До­ка­жем ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков АВС и А1В1С1. В дан­ных тре­уголь­ни­ках АВ = А1В1, а также углы В и В1 равны. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1 равны по остро­му углу и при­ле­жа­ще­му к нему остро­му углу.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/ugolkovyy-otrazhatel-tipovye-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=ky2pmRNXYrM

http://900igr.net/datas/geometrija/Ravenstvo-prjamougolnykh-treugolnikov/0009-009-Ugolkovyj-otrazhatel.jpg

http://uslide.ru/images/3/9455/960/img9.jpg

http://u.900igr.net/zip/cacc660b3314e1ce9bee6ec064c1cdce.zip

 

 

Файлы