7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, ...

Комментарии преподавателя

 Введение и доказательство первого признака равенства прямоугольных треугольников

Вспом­ним из ма­те­ри­а­ла преды­ду­ще­го урока, пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ни­ком на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник, если у него хотя бы один из углов пря­мой (т. е. равен 90о).

Рас­смот­рим пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков: если два ка­те­та од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум ка­те­там дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Про­ил­лю­стри­ру­ем дан­ный слу­чай:

Рис. 1. Рав­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки

До­ка­за­тель­ство:

Вспом­ним о пер­вом ра­вен­стве про­из­воль­ных тре­уголь­ни­ков.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

Если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка и со­от­вет­ству­ю­щие им две сто­ро­ны и угол между ними вто­ро­го тре­уголь­ни­ка равны, то дан­ные тре­уголь­ни­ки равны. Об этом гла­сит пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, то есть:

АВС = .

Ана­ло­гич­ное до­ка­за­тель­ство сле­ду­ет и для пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

.

Тре­уголь­ни­ки равны по пер­во­му при­зна­ку.

 Введение и доказательство второго признака равенства прямоугольных треугольников

Рас­смот­рим вто­рой при­знак ра­вен­ства пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. Если катет и при­ле­жа­щий к нему ост­рый угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ка­те­ту и при­ле­жа­ще­му остро­му углу дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Рис. 3

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 4

Вос­поль­зу­ем­ся вто­рым при­зна­ком ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

 

Ана­ло­гич­ное до­ка­за­тель­ство и для пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

 

Тре­уголь­ни­ки равны по вто­ро­му при­зна­ку.

 Введение и доказательство третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Рас­смот­рим тре­тий при­знак ра­вен­ства пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков: если ги­по­те­ну­за и при­ле­жа­щий к ней угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 5

Вспом­ним вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

 Рис. 6

Дан­ные тре­уголь­ни­ки равны, если:

 

По­сколь­ку из­вест­но, что одна пара ост­рых углов у пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков равна (∠А = ∠А1), то ра­вен­ство дру­гой пары углов (∠B = ∠B1) до­ка­зы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

.

По­сколь­ку АВ = А1В1 ( по усло­вию), ∠В = ∠В1, ∠А = ∠А1. По­это­му тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1 равны по вто­ро­му при­зна­ку.

 Введение и доказательство четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников, введение понятия «внешний угол треугольника»

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Если катет и ги­по­те­ну­за од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе дру­го­го тре­уголь­ни­ка, такие пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны.

 

 

 

 

 

Рис. 7

До­ка­за­тель­ство:

Сов­ме­стим на­ло­же­ни­ем тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1. Пред­по­ло­жим, что вер­ши­ны А и А1, а также С и С1 сов­ме­сти­лись на­ло­же­ни­ем, а вер­ши­на В и точка В1 не сов­па­да­ют. Имен­но этот слу­чай ука­зан на сле­ду­ю­щем ри­сун­ке:

Рис. 8

В дан­ном слу­чае мы можем за­ме­тить рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВВ1 (по опре­де­ле­нию – по усло­вию АВ = АВ1). По­это­му по свой­ству, ∠АВ1В = ∠АВВ1. Рас­смот­рим опре­де­ле­ние внеш­не­го угла. Внеш­ним углом тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся угол, смеж­ный лю­бо­му углу тре­уголь­ни­ка. Его гра­дус­ная мера равна сумме двух углов тре­уголь­ни­ка, несмеж­ных с ним. На ри­сун­ке ука­за­но дан­ное со­от­но­ше­ние:

Рис. 9

Угол 5 яв­ля­ет­ся внеш­ним углом тре­уголь­ни­ка и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. От­сю­да сле­ду­ет, что внеш­ний угол боль­ше каж­до­го из углов, несмеж­ных с ним.

Таким об­ра­зом, ∠АВВ1 яв­ля­ет­ся внеш­ним углом для тре­уголь­ни­ка АВС и равен сумме ∠АВВ1  = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС  = ∠САВ + 90о. Таким об­ра­зом, ∠АВ1В (что яв­ля­ет­ся ост­рым углом в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВВ1) не может быть равен углу ∠АВВ1, ведь дан­ный угол – тупой по до­ка­зан­но­му.

Зна­чит наше пред­по­ло­же­ние ка­са­тель­но рас­по­ло­же­ния точек В и В1 ока­за­лось невер­ным, сле­до­ва­тель­но дан­ные точки сов­па­да­ют. А зна­чит тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1 сов­ме­сти­лись на­ло­же­ни­ем. По­это­му они равны (по опре­де­ле­нию).

Таким об­ра­зом, дан­ные при­зна­ки вво­дят­ся не зря, ведь их можно ис­поль­зо­вать при ре­ше­нии неко­то­рых задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/priznaki-ravenstva-pryamougolnyh-treugolnikov-2

http://www.youtube.com/watch?v=KBAKMPZIMeo

http://www.youtube.com/watch?v=bnj64AX-XpI

http://idata.5gbfree.com/data/img/detskie/repetitor/geometriay/1020.jpg

http://u.900igr.net/zip/ee26a03498d564d73d320649486eb080.zip

http://gdz-matem.ru/228-priznaki-ravenstva-pryamougolnyh-treugolnikov.html

 

Файлы