7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

7 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольников. Прямоугольные треугольники.

Если в равнобедренном треугольнике хотя бы один угол равен 60 градусам, ...

Комментарии преподавателя

Основные свойства прямоугольных треугольников

 

1. Повторение теоретических сведений, первое свойство прямоугольного треугольника

Сначала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольным называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90о).

На рисунке 1 изображён прямоугольный треугольник АВС, ∠C=90. Вспомним, что сумма углов произвольного треугольника равна 180о. Не есть исключением и прямоугольный. Сумма углов прямоугольного треугольника также равна 180о. Обозначим острые углы ∠A и ∠В. Вследствие того, что ∠А + ∠В + ∠ С = 180о, а ∠С=90 следует, что ∠А + ∠В = 180 - ∠С = 90. Немаловажно знать, что у сторон прямоугольного треугольника есть свои названия. К примеру, стороны, прилежащие к вершине прямого угла, называются катетами. А сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. На рисунке 1 АС, ВС – катеты, АВ – гипотенуза.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Свойство 1: Сумма острых углов треугольника равна 90о.  

Вспомним из выученного материала факт, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол – наибольший в прямоугольном треугольнике. Если один угол прямоугольного треугольника больше 90о (не учитывая действительный прямой угол), то данный треугольник перестаёт таковым являться, ведь сумма углов превысит 180о. Таким образом, гипотенуза – наибольшая сторона треугольника.

2. Второе свойство прямоугольного треугольника

Свойство 2: АB > AC, АB > BC. 

Третье свойство прямоугольного треугольника связано с наличием угла 30о. На рисунке 2 дан прямоугольный треугольник АВС. Угол А равен 30о. Доказать, что ВС равна половине АВ.

 

Рис. 2. Прямоугольный треугольник АВС и равносторонний треугольник АBD

Доказательство:

Выполним дополнительное построение. А именно достроим треугольник АСD на стороне АС, равный треугольнику АВС. Поскольку АС в полученном треугольнике АBD является и биссектрисой, и высотой, то треугольник АBD – равнобедренный, а поскольку все его углы равны по 60о (∠В = 90о - ∠А = 90о – 30о = 60о), то треугольник АBD – равносторонний.

Поскольку треугольник АВD – равнобедренный, то ВD = АВ. Если АС – медиана и высота треугольника АВD, то СD = СВ. Поскольку ВD = АВ, то СВ = .

Что и требовалось доказать.

3. Третье свойство прямоугольного треугольника – наличие угла 30 градусов

Свойство 3: Катет, лежащий против угла 30о, равен половине гипотенузы.

Справедливо и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30о.

Доказательство:

Обозначим известную сторону АВ = с. Выполним дополнительное построение. А именно достроим треугольник АСD на стороне АС, равный треугольнику АВС. Поскольку АС в полученном треугольнике АBD является и медианой, и высотой, то треугольник АBD – равнобедренный, а поскольку все его стороны равны с, то треугольник АBD – равносторонний. Соответственно, в равнобедренном треугольнике все углы равны по 60о. Из этих соображений следует, что угол DAB = 60o. А поскольку, АС – биссектриса треугольника АBD (так как она есть медианой и высотой), то угол САВ равен половине угла DAB, то есть 30о.

Что и требовалось доказать.

4. Решение задач

Рассмотрим некоторые конкретные задачи.

Пример 1:

Найдите градусную меру острого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 3. Чертёж к примеру 1

Гипотенуза всегда больше катета, потому что она лежит против большего угла, а значит если треугольник равнобедренный, выполняется равенство катетов. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ∠А = ∠В. Используя известный факт, что сумма острых углов треугольника равна 90о, получаем, что ∠А = ∠В = 90/2 = 45.

Ответ: 45.

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/7-klass/video/osnovnye-svoystva-pryamougolnyh-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=xyXedAjvAsU

http://www.youtube.com/watch?v=lFYednv376Y

http://www.youtube.com/watch?v=gId2OPB108I

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/02/27/nekotorye_svoystva_pryamougolnogo_treugolnika_0.ppt

https://otvet.imgsmail.ru/download/45720838_00b392ed21fd54ff5ad4a4af93b19e7c_800.jpg

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/6_Pryamougolnyj-treugolnik.jpg

 

Файлы