7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч, угол.

7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч, угол.

Комментарии преподавателя

 Введение

В ре­аль­ной жизни мы умеем срав­ни­вать ко­ли­че­ства. На­при­мер, мы по­ни­ма­ем, что 7 боль­ше, чем 5. Семь яблок – это боль­ше, чем 5 яблок.

И по­ни­ма­ем важ­ный прин­цип: часть мень­ше це­ло­го. Но наша за­да­ча – срав­не­ние от­рез­ков, углов, гео­мет­ри­че­ских фигур. Где же в гео­мет­ри­че­ских фи­гу­рах часть, а где целое?

 Равенство геометрических фигур

Нач­нем с важ­но­го опре­де­ле­ния ра­вен­ства гео­мет­ри­че­ских фигур, ведь от­ре­зок, угол – это гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра.

Фи­гу­ра 1 равна фи­гу­ре 2, если их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем: .

На­при­мер, два листа бу­ма­ги можно на­ло­жить друг на друга, и они нераз­ли­чи­мы. Две оди­на­ко­вые мо­не­ты и т.д.

 Сравнение отрезков

От­ре­зок – это часть пря­мой. Да­вай­те по­про­бу­ем сов­ме­стить от­рез­ки  и .

При сов­ме­ще­нии воз­мож­но 3 слу­чая.

- Точка  сов­ме­сти­лась с точ­кой , и вто­рые концы  и  тоже сов­ме­сти­лись. Тогда от­ре­зок  и  сов­ме­сти­лись, и в этом слу­чае - То есть если сов­ме­сти­лись концы от­рез­ков, то сов­ме­сти­лись и сами от­рез­ки (см. рис. 1).

Рис. 1. Сов­ме­ще­ние от­рез­ков  и , слу­чай 1

 – часть от­рез­ка , зна­чит,  (см. рис. 2).

Рис. 2. Сов­ме­ще­ние от­рез­ков  и , слу­чай 2

- От­ре­зок  – это часть от­рез­ка , зна­чит,  (см. рис. 3).

Рис. 3. Сов­ме­ще­ние от­рез­ков  и , слу­чай 3

Срав­ни­вать спо­со­бом на­ло­же­ния не все­гда удоб­но, ведь от­рез­ки могут быть очень длин­ны­ми либо же очень ма­лы­ми, тогда срав­не­ние неудоб­но. На по­мощь при­хо­дит срав­не­ние их длин.

 Длина отрезка

Каж­до­му от­рез­ку со­от­вет­ству­ет его длина. Длина – по­ло­жи­тель­ное число, яв­ля­ю­ще­е­ся ре­зуль­та­том срав­не­ния с эта­ло­ном. На­при­мер, с по­мо­щью ли­ней­ки можно уста­но­вить, какая длина у дан­но­го от­рез­ка, сколь­ко он со­став­ля­ет мил­ли­мет­ров, сколь­ко сан­ти­мет­ров и т.д. При этом мы счи­та­ем, что каж­дой длине най­дет­ся свой от­ре­зок. И еще раз под­черк­нем, что если сов­ме­сти­лись концы от­рез­ков, то сов­ме­сти­лись и сами от­рез­ки.

Итак, на­ло­же­ние мы за­ме­ня­ем срав­не­ни­ем длин. Это на­гляд­но видно на ко­ор­ди­нат­ном луче.

Есть ко­ор­ди­нат­ный луч (см. рис. 4). Каж­дой точке со­от­вет­ству­ет число, ко­ор­ди­на­та – рас­сто­я­ние до нуля.

Рис. 4. Ко­ор­ди­нат­ный луч

Дана точка  с ко­ор­ди­на­той 0, точка  с ко­ор­ди­на­той 5 и точка  с ко­ор­ди­на­той 7.

На­ло­же­ние здесь не тре­бу­ет­ся, мы срав­ни­ва­ем длины. И за­ме­ча­ем, что от­ре­зок .

Если равны длины от­рез­ков, то равны и от­рез­ки. И на­о­бо­рот, если равны от­рез­ки, то равны и их длины.

 Середина отрезка

На­пом­ним важ­ное по­ня­тие – се­ре­ди­на от­рез­ка.

Дан от­ре­зок , точка  – се­ре­ди­на от­рез­ка, если она делит его по­по­лам. Т.е.  (см. рис. 5).

Рис. 5.  – се­ре­ди­на от­рез­ка 

 Сравнение углов

Рас­смот­рим сов­ме­ще­ние углов.

Угол , угол . Воз­мож­ны три слу­чая:

- два угла пол­но­стью сов­ме­сти­лись. Т.е. точки  и  сов­ме­сти­лись, луч  пошел по лучу , а  пошел по лучу . Если есть такое сов­ме­ще­ние, зна­чит, . Фи­гу­ры при на­ло­же­нии сов­ме­сти­лись, зна­чит, они равны по опре­де­ле­нию (см. рис. 6).

Рис. 6. Сов­ме­ще­ние углов: , слу­чай 1

- угол  мень­ше, чем угол . Это часть боль­ше­го угла, зна­чит, угол  (см. рис. 7).

Рис. 7. Сов­ме­ще­ние углов: , слу­чай 2

- Угол  боль­ше, чем угол . Вто­рой угол яв­ля­ет­ся ча­стью пер­во­го. Зна­чит, угол  (см. рис. 8).

Рис. 8. Сов­ме­ще­ние углов: , слу­чай 3

Рас­смот­рим ча­стый слу­чай. Один из углов  – раз­вер­ну­тый, а вто­рой угол . Нераз­вер­ну­тый угол все­гда мень­ше раз­вер­ну­то­го.  (см. рис. 9).

Рис. 9. Срав­не­ние раз­вер­ну­то­го и нераз­вер­ну­то­го углов

 Биссектриса угла

Рас­смот­рим по­ня­тие бис­сек­три­сы угла. Есть угол . Про­ве­дем луч  таким об­ра­зом, чтобы по­лу­чен­ные углы ока­за­лись рав­ны­ми, т.е. . В слу­чае луч  – бис­сек­три­са (см. рис. 10).

Рис. 10. Бис­сек­три­са угла

Бис­сек­три­сой угла на­зы­ва­ет­ся луч, ис­хо­дя­щий из вер­ши­ны, ко­то­рый делит угол по­по­лам.

 Обзор некоторых аксиом

В гео­мет­рии даже самые по­нят­ные дей­ствия ре­гла­мен­ти­ро­ва­ны ак­си­о­ма­ми. Пол­ный спи­сок ак­си­ом мы, сле­дуя учеб­ни­ку, здесь не при­во­дим, но ре­зуль­та­ты ис­поль­зу­ем.

На­при­мер:

1. На луче  можно от­ло­жить един­ствен­ный от­ре­зок, рав­ный дан­но­му от­рез­ку , от точки . Сов­ме­стим точки  и , на от­рез­ке  по­ста­вим точку , с ко­то­рой сов­ме­стим точку . Тогда  (см. рис. 11).

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

2. Есть луч  и за­дан­ный угол , от луча  в верх­ней по­лу­плос­ко­сти можно от­ло­жить един­ствен­ный угол, рав­ный за­дан­но­му  (см. рис. 12).

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

3. Пря­мая  рас­се­ка­ет плос­кость на две по­лу­плос­ко­сти, об­ла­да­ю­щи­ми важ­ны­ми свой­ства­ми:

-  если две точки на­хо­дят­ся в раз­ных по­лу­плос­ко­стях, то пря­мая  имеет общую точку с пря­мой , един­ствен­ную точку , ко­то­рая при­над­ле­жит и пря­мой , и пря­мой . При­чем точка  на­хо­дит­ся между точ­ка­ми  и , зна­чит,  (см. рис. 13).

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

- если две точки на­хо­дят­ся в одной по­лу­плос­ко­сти, то от­ре­зок  не имеет общей точки с пря­мой  (см. рис. 14).

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Фор­му­ли­ров­ку ак­си­ом мы, сле­дуя учеб­ни­кам, при­во­дим, если они нужны в про­цес­се до­ка­за­тель­ства. Еще раз под­черк­нем: фун­да­мен­том гео­мет­рии яв­ля­ют­ся: во-пер­вых, неопре­де­ли­мые по­ня­тия, такие как точка, пря­мая; во-вто­рых, ак­си­о­мы (то есть ис­ти­ны), ко­то­рые не тре­бу­ют до­ка­за­тельств. Имен­но ак­си­о­мы опи­сы­ва­ют свой­ства точек, пря­мых и их вза­им­ное рас­по­ло­же­ние. Все осталь­ное до­ка­зы­ва­ет­ся. Ре­ко­мен­ду­ем за­гля­нуть в конец учеб­ни­ка, про­честь спи­сок всех ак­си­ом и убе­дить­ся, что в гео­мет­рии бы­ва­ет не толь­ко та гео­мет­рия, ко­то­рую мы будем изу­чать, она на­зы­ва­ет­ся Ев­кли­до­ва, но и гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го. Все это вы най­де­те, за­гля­нув в конец учеб­ни­ка.

Пе­рей­дем к за­да­чам по теме.

 Задание 1

На луче с на­ча­лом  от­ме­че­ны точки  и  так, что точка  лежит между точ­ка­ми  и , а точка  – между точ­ка­ми  и  (см. рис. 15).

Срав­ни­те от­рез­ки  и  и  и .

Ре­ше­ние

Рис. 15. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 1

Ответ: .

 Задание 2

Точка  яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка  (см. рис. 16).

Можно ли сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем от­рез­ки:

a)  и ?

b)  и ?

Ре­ше­ние

Рис. 16. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 2

a)  и ? Ответ: да (т.к. )

b)  и ? Ответ: нет

 Задание 3

Луч  – бис­сек­три­са угла  (см. рис. 17). Можно ли на­ло­же­ни­ем сов­ме­стить углы:

a)  и ?

b)   и ?

Ре­ше­ние

Рис. 17. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 3

a)  и ? Ответ: да (т.к. )

b)  и ? Ответ: нет

 Задача 4

Луч  делит угол  на два угла (см. рис. 18). Срав­ни­те углы  и .

Ре­ше­ние

Рис. 18. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 4

Ответ: , т.к.  яв­ля­ет­ся ча­стью .

 Заключение

Итак, мы рас­смот­ре­ли срав­не­ние от­рез­ков и углов, ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/sravnenie-otrezkov-i-uglov

http://www.youtube.com/watch?v=PyMeOg2uapE

http://www.youtube.com/watch?v=dxjbGDcZ-sk

http://davay5.com/z/8116.php

http://www.school212.ru/web212/school/images/geom/big/geom_7_02.jpg

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/05d0c60be21fead2a848e8226739f543.jpg

 

Файлы