8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач.

8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач.

Ну­ле­вой век­тор, то есть век­тор ну­ле­вой длины, ...

Комментарии преподавателя

Век­то­ры

Урок: По­ня­тие век­то­ра. За­да­чи

 1. Определение понятия вектора

Мно­гие фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны ха­рак­те­ри­зу­ют­ся не толь­ко чис­лом, но и на­прав­ле­ни­ем. На­при­мер, ско­рость, сила и т.д. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют­ся век­тор­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, или век­то­ра­ми. Нам необ­хо­ди­мо вве­сти по­ня­тие век­то­ра, по­ня­тие ра­вен­ства век­то­ров, опре­де­лить пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров, умно­же­ния век­то­ра на число и т.д.

Итак, нач­нем с опре­де­ле­ния. Пусть задан от­ре­зок АВ, и он имеет кон­крет­ную длину. Если счи­тать, что точка А – это на­ча­ло от­рез­ка, а точка В – его конец, по­лу­ча­ем на­прав­лен­ный от­ре­зок, ко­то­рый и будет на­зы­вать­ся век­то­ром АВ (см. Рис. 1).

Рис. 1

Имеем право на­звать дан­ный век­тор одной бук­вой, в таком слу­чае .

При ра­бо­те с век­то­ра­ми обя­за­тель­но нужно ста­вить стрел­ки или чер­точ­ку над име­нем век­то­ра.

Опре­де­ле­ние

От­ре­зок, для ко­то­ро­го ука­за­но, какая из его гра­нич­ных точек счи­та­ет­ся на­ча­лом, а какая кон­цом, на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ным век­то­ром или от­рез­ком.

Те­перь если мы знаем, что век­тор  обо­зна­ча­ет ка­кую-то силу, то мы знаем, куда эта сила на­прав­ле­на и ка­ко­ва она по ве­ли­чине.

Мы ввели по­ня­тие век­то­ра, те­перь нужно опре­де­лить ра­вен­ство век­то­ров.

Пред­ста­вим шоссе, по ко­то­ро­му ма­ши­ны в со­сед­них рядах едут с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми.

Пусть пер­вая ма­ши­на едет со ско­ро­стью , ско­рость вто­рой в два раза боль­ше, то есть , ско­рость тре­тьей еще боль­ше, и т.д. (см. Рис. 2).

Рис. 2

Таким об­ра­зом, рас­смот­рим век­то­ра, ле­жа­щие на па­рал­лель­ных пря­мых. Такие век­то­ра носят на­зва­ние кол­ли­не­ар­ные. Ма­ши­ны на встреч­ной по­ло­се едут в об­рат­ную сто­ро­ну с про­из­воль­ной ско­ро­стью, не важно, боль­шой или малой, но все равно и эти век­то­ры будут кол­ли­не­ар­ны­ми за­дан­ным, так как те и дру­гие лежат на па­рал­лель­ных пря­мых. 

 2. Коллинеарные векторы

Нену­ле­вые век­то­ры на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, если они лежат на одной пря­мой либо на па­рал­лель­ных пря­мых. Ну­ле­вой век­тор, то есть век­тор ну­ле­вой длины, счи­та­ет­ся кол­ли­не­ар­ным лю­бо­му век­то­ру.

Если мы имеем век­то­ры  и , ле­жа­щие на па­рал­лель­ных пря­мых, они могут быть со­на­прав­лен­ны­ми или про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми (см. Рис. 3, 4).

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны про­ти­во­на­прав­ле­ны: 

Рис. 3

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны со­на­прав­ле­ны: 

Рис. 4

Те­перь если за­да­ны век­то­ры  и , они кол­ли­не­ар­ны и со­на­прав­ле­ны и длины их равны, то мы имеем рав­ные век­то­ры.

 3. Понятие равенства векторов

Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если они со­на­прав­ле­ны и длины их равны.

Длина век­то­ра на­зы­ва­ет­ся мо­ду­лем и обо­зна­ча­ет­ся так: .

Итак, из опре­де­ле­ния ра­вен­ства век­то­ров мы по­лу­ча­ем:

.

При­мер 1 – за­да­ча 738: от­меть­те точки А, В и С, не ле­жа­щие на одной пря­мой. По­строй­те все нену­ле­вые век­то­ры, на­ча­ло и конец ко­то­рых сов­па­да­ют с двумя из этих точек, вы­пи­ши­те эти век­то­ры, ука­жи­те их на­ча­ло и конец.

Со­еди­ним точки А и В, по­лу­ча­ем век­тор , А – на­ча­ло, В – конец, ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем век­то­ра  и .

По­ме­ня­ем для век­то­ра  на­ча­ло и конец между собой, по­лу­чим век­тор , В – на­ча­ло, В – конец, ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем век­то­ра  и  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Дан­ная за­да­ча по­ка­зы­ва­ет нам, что любые две точки могут быть со­еди­не­ны от­рез­ком, и если в нем вы­брать на­ча­ло и конец, мы по­лу­чим век­тор.

При­мер 2 – за­да­ча 749: точки S и T яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми бо­ко­вых сто­рон MN и LK рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Равны ли век­то­ры  и ? Век­то­ры  и ? Век­то­ры  и ? Век­то­ры  и ?

На­пом­ним, что век­тор – это на­прав­лен­ный от­ре­зок, а все ранее изу­чен­ные нами фи­гу­ры – тре­уголь­ни­ки, че­ты­рех­уголь­ни­ки, в част­но­сти, тра­пе­ции, со­сто­ят из от­рез­ков, каж­дый из ко­то­рых можно пред­ста­вить, как век­тор.

Со­глас­но усло­вию, тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, от­сю­да .

Сто­ро­ны NL и MK па­рал­лель­ны как ос­но­ва­ния тра­пе­ции (см. Рис. 6). Если век­то­ры на­прав­ле­ны по этим пря­мым, то они на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, они могут быть со­на­прав­лен­ны­ми либо про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми. 

Рис. 6

Оче­вид­но, что век­то­ры  и  не равны, так как они даже не кол­ли­не­ар­ны – не при­над­ле­жат па­рал­лель­ным пря­мым (см. Рис. 7).

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны, т.к. при­над­ле­жат одной пря­мой – бо­ко­вой сто­роне тра­пе­ции; дан­ные век­то­ры со­на­прав­ле­ны. Кроме того, в усло­вии ска­за­но, что S – се­ре­ди­на MN, от­сю­да мо­ду­ли век­то­ров равны. Таким об­ра­зом, дан­ные век­то­ры равны между собой.

Рис. 7

Век­то­ры  и  не равны, хотя их длины оди­на­ко­вы – тра­пе­ция по усло­вию рав­но­бед­рен­ная (см. Рис. 8). Но дан­ные два век­то­ра не яв­ля­ют­ся со­на­прав­лен­ны­ми по опре­де­ле­нию тра­пе­ции (тра­пе­ци­ей на­зы­ва­ет­ся такой че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го две сто­ро­ны – ос­но­ва­ния – лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а две осталь­ных сто­ро­ны не па­рал­лель­ны).

Рис. 8

Век­то­ры  и  равны, так как Т – се­ре­ди­на KL, от­сю­да , таким об­ра­зом, мо­ду­ли век­то­ров равны. Также оче­вид­но, что дан­ные век­то­ры кол­ли­не­ар­ны – они при­над­ле­жат одной пря­мой, бо­ко­вой сто­роне тра­пе­ции KL, и со­на­прав­ле­ны.  Таким об­ра­зом, за­дан­ные два век­то­ра равны (см. Рис. 9).

Рис.  9

 4. Решение задач

При­мер 3 – за­да­ча 751: опре­де­лить вид че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если .

Дан­ный че­ты­рех­уголь­ник – ромб. Обос­ну­ем. Мы знаем, что век­то­ры  и  равны, от­сю­да сле­ду­ет, что равны их мо­ду­ли – то есть длины от­рез­ков, век­то­ры со­на­прав­лен­ны и кол­ли­не­ар­ны, то есть при­над­ле­жат па­рал­лель­ным пря­мым, таким об­ра­зом, за­дан­ный че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм (см. Рис. 10). Дан­ный факт обос­но­ван при­зна­ком па­рал­ле­ло­грам­ма: если две сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка при­над­ле­жат па­рал­лель­ным пря­мым и длины их равны, то дан­ный че­ты­рех­уголь­ник –

Рис. 10

па­рал­ле­ло­грамм. Со­глас­но вто­ро­му усло­вию, , со­сед­ние сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны друг другу, а такой па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.

Итак, мы на­ча­ли изу­че­ние боль­шой и важ­ной темы – век­то­ры, то есть такие ве­ли­чи­ны, для ко­то­рых важна не толь­ко ве­ли­чи­на, но и на­прав­ле­ние. Мы дали опре­де­ле­ние век­то­ра, ввели по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров, со­на­прав­лен­ных и про­ти­во­на­прав­лен­ных век­то­ров. Рас­смот­ре­ли по­ня­тие ра­вен­ства век­то­ров.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/ponyatie-vektora-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=ICwchGItv_A

http://www.youtube.com/watch?v=KYaz65dkg2c

http://www.youtube.com/watch?v=_hj7S1Yahfs

http://davay5.com/z/8847.php

http://www.всёдляшкол.рф/SREDN_SKOOL/MATEM/N108/images/geom_8_13.jpg

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/29cc1d8d90989d9f0e3df70c3d95a9ee.jpg

 

Файлы