8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.

8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.

Комментарии преподавателя

 Введение

Окруж­ность на­зы­ва­ет­ся опи­сан­ной около мно­го­уголь­ни­ка, если все его вер­ши­ны лежат на этой окруж­но­сти, при этом мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным в окруж­ность (см. рис. 2).

Вся тео­рия опи­сан­ных окруж­но­стей ба­зи­ру­ет­ся на свой­стве се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра (см. рис. 1).  – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр.

Рис. 1. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр

Тео­ре­ма: се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек, рав­но­уда­лен­ных от кон­цов от­рез­ка. Т.е. центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около от­рез­ка, лежит на его се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре.

Около мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда все его се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Рис. 2. Впи­сан­ный мно­го­уголь­ник

В дан­ном слу­чае  – че­ты­ре се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра че­ты­рех­уголь­ни­ка, долж­ны пе­ре­сечь­ся в одной точке, точке , тогда около этого мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность (см. рис. 2).

 Окружность, описанная вокруг треугольника

Не каж­дый мно­го­уголь­ник об­ла­да­ет таким свой­ством, любой тре­уголь­ник этим свой­ством об­ла­да­ет.

Тео­ре­ма 1: около лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность и при­том толь­ко одну.

До­ка­за­тель­ство: дан тре­уголь­ник . Его се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры . Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр  пе­ре­се­чет­ся с се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром  в неко­то­рой точке  (см. рис. 3).

Рис. 3. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка

Они пе­ре­се­кут­ся, т.к.  пер­пен­ди­ку­ля­рен к  по опре­де­ле­нию,  пер­пен­ди­ку­ля­рен к , но не пер­пен­ди­ку­ля­рен к , так как в таком слу­чае будет две пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ные к , что невоз­мож­но, зна­чит,  и  не па­рал­лель­ны и обя­за­тель­но пе­ре­се­кут­ся (см. рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Рас­смот­рим свой­ства точки . Точка  при­над­ле­жит пер­пен­ди­ку­ля­ру , а зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от его кон­цов, , точка  лежит на вто­ром се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре , зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от точек  и .

Вы­яс­ня­ет­ся, что точка  рав­но­уда­ле­на от всех трех вер­шин тре­уголь­ни­ка. Обо­зна­чим это рас­сто­я­ние за .

Точка  рав­но­уда­ле­на от точек  и , зна­чит, она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре  к от­рез­ку .

Три се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра пе­ре­се­ка­ют­ся в точке .

Окруж­ность с цен­тром в точке  и ра­ди­у­сом  опи­са­на около дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

Мы до­ка­за­ли, что во­круг тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность..

Да­вай­те опре­де­лим, един­ствен­ная эта окруж­ность или нет. Пусть су­ще­ству­ет дру­гая опи­сан­ная окруж­ность с цен­тром  и ра­ди­у­сом .

Центр этой окруж­но­сти, точка , долж­на ле­жать на пе­ре­се­че­нии се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров. Зна­чит, она долж­на сов­па­дать с точ­кой .

Точка  долж­на быть уда­ле­на от точек  на оди­на­ко­вое рас­сто­я­ние, и сов­па­дать с точ­кой , зна­чит, . Таким об­ра­зом, окруж­но­сти сов­па­да­ют.

Итак, мы до­ка­за­ли, что около лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность и при­том толь­ко одну.

 Окружность, описанная вокруг прямоугольника

Около че­ты­рех­уголь­ни­ка не все­гда можно опи­сать окруж­ность. Есть па­рал­ле­ло­грамм . Около него нель­зя опи­сать окруж­ность.

Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры  и  па­рал­лель­ны, они не имеют общих точек, иначе это был бы пря­мо­уголь­ник (см. рис. 5).

Рис. 5. Па­рал­ле­ло­грамм

Около пря­мо­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, и даже можно найти центр этой окруж­но­сти.

Пусть  – пря­мо­уголь­ник. Мы знаем, что диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны между собой, пе­ре­се­ка­ют­ся и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Зна­чит, точка  рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин этого пря­мо­уголь­ни­ка.  яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом этой окруж­но­сти.  (см. рис. 6)

Рис. 6. Окруж­ность, опи­сан­ная около пря­мо­уголь­ни­ка

 Окружность, описанная вокруг равнобедренной трапеции

Около рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность. До­пу­стим, есть тра­пе­ция , в ко­то­рой бедра равны: .

Если мы опи­шем окруж­ность около любых трех точек, на­при­мер, окруж­ность около точек  и , то точка  будет при­над­ле­жать этой окруж­но­сти. . А по­че­му? По­то­му что тра­пе­ция имеет ось сим­мет­рии – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр  к ос­но­ва­ни­ям  и  (см. рис. 7).

Рис. 7. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции

Итак, мы видим, что около неко­то­рых че­ты­рех­уголь­ни­ков можно опи­сать окруж­ность. Под­ме­ча­ем, что сумма про­ти­во­по­лож­ных углов в таких че­ты­рех­уголь­ни­ках равна 180 гра­ду­сам. Это очень важ­ное за­ме­ча­ние: . Ока­зы­ва­ет­ся, это свой­ство лю­бо­го вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка.

 Сумма противоположных углов вписанного выпуклого четырехугольника

Пока мы огра­ни­чим­ся рас­смот­ре­ни­ем толь­ко вы­пук­лых че­ты­рех­уголь­ни­ков и для таких че­ты­рех­уголь­ни­ков до­ка­жем тео­ре­му.

Тео­ре­ма 2: в любом впи­сан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180 гра­ду­сам.

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

До­ка­за­тель­ство: пусть  (см. рис. 8). Ис­поль­зу­ем тео­ре­му о впи­сан­ном в окруж­ность угле, тогда дуга .

Дуга . В сумме они со­став­ля­ют всю окруж­ность, а зна­чит, . Делим на два и по­лу­ча­ем: .

Еще раз по­вто­рим ход до­ка­за­тель­ства, он прост. Если угол равен , то дуга, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, равна 2. Если впи­сан­ный в окруж­ность угол равен , то дуга, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, равна 2.

Если точки, на ко­то­рые эти углы опи­ра­ют­ся, сов­па­да­ют, , а . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма: если сумма про­ти­во­по­лож­ных углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам, то около этого че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

Дано: .

До­ка­за­тель­ство: опи­шем окруж­ность около трех точек, на­при­мер, . До­ка­жем, что точка  тоже лежит на этой окруж­но­сти.

Пред­по­ло­жим про­тив­ное, пусть точка  не лежит на окруж­но­сти, а она лежит внут­ри круга, тогда про­длим от­рез­ки  и  и по­лу­чим точки  и , ко­то­рые лежат на окруж­но­сти (cм. рис. 9).

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Ис­поль­зу­ем тео­ре­му о внут­рен­нем угла окруж­но­сти. А она го­во­рит, что внут­рен­ний угол окруж­но­сти из­ме­ря­ет­ся по­лу­сум­мой дуг, на ко­то­рые он опи­ра­ет­ся. Дан угол , ко­то­рый опи­ра­ет­ся на дугу  (см. рис. 10), пусть он из­ме­ря­ет­ся в .

Угол  опи­ра­ет­ся на дугу , ко­то­рый из­ме­ря­ет­ся в .

До­ка­за­но, что .

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

По­че­му? До­ста­точ­но всего лишь про­ве­сти от­ре­зок , чтобы по­лу­чить тре­бу­е­мое (cм. рис. 10).

По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле, .

Для тре­уголь­ни­ка , угол  – внеш­ний, а внеш­ний угол равен сумме двух дру­гих углов тре­уголь­ни­ка, не смеж­ных с ним. Т.е. , что и го­во­ри­лось.

Вер­нем­ся к ри­сун­ку 9: точка  – внут­рен­няя точка круга, зна­чит,  равен по­ло­вине дуг, на ко­то­рые он опи­ра­ет­ся.

Мы видим, что угол  боль­ше, чем по­ло­ви­на дуги .

Угол  равен по­ло­вине остав­шей­ся дуги .

Сло­же­ние этих углов дает: .

А так как дуги  и  в сумме со­став­ля­ют всю окруж­ность, то . Зна­чит, .

Про­ти­во­ре­чие, по усло­вию, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180 гра­ду­сов. А зна­чит, точка  не может на­хо­дить­ся внут­ри окруж­но­сти.

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что точка  не может на­хо­дить­ся вне окруж­но­сти.

За­да­ние

До­ка­жи­те са­мо­сто­я­тель­но, что точка  не может на­хо­дить­ся вне окруж­но­сти. При этом ис­поль­зуй­те свой­ство внеш­не­го угла окруж­но­сти, он из­ме­ря­ет­ся по­лу­раз­но­стью дуг, на ко­то­рые опи­ра­ет­ся. Срав­ни­те ваше до­ка­за­тель­ство с до­ка­за­тель­ством, ко­то­рое будет при­ве­де­но ниже в раз­де­ле: «Точка  вне окруж­но­сти».

Итак, мы до­ка­за­ли, что точка  не может на­хо­дить­ся внут­ри окруж­но­сти, не может на­хо­дить­ся вне окруж­но­сти, точка  на­хо­дит­ся на окруж­но­сти. Около че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 Задача 1

Из точки , рас­по­ло­жен­ной внут­ри остро­го угла , опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры  и  на сто­ро­ны угла. До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник  – впи­сан­ный. Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если  рав­ня­ет­ся 10 (см. рис. 11).

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Дано:

Найти: .

Ре­ше­ние

Сумма углов  и  равна 180 гра­ду­сов, зна­чит, по преды­ду­щей тео­ре­ме, около этого че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

Угол  равен 90 гра­ду­сам и яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, зна­чит,  – диа­метр и равен двум ра­ди­у­сам.

 

 

 

Ответ: .

 Задача 2

В тре­уголь­ни­ке  ме­ди­а­на  рав­ня­ет­ся по­ло­вине сто­ро­ны . Длина ме­ди­а­ны  равна 1. Найти ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти (см. рис. 12).

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Дано:  – се­ре­ди­на 

Найти: .

Ре­ше­ние

До­ка­жем, что угол  равен 90 гра­ду­сов. Есть три рав­ных от­рез­ка .

 обо­зна­чим зна­чит,  тоже  обо­зна­чим , зна­чит,  тоже .

Сумма всех углов – 180 гра­ду­сов, зна­чит, .

Углы  и  со­став­ля­ют угол , зна­чит, он равен 90 гра­ду­сов. Таким об­ра­зом, мы вы­яс­ни­ли, что наш тре­уголь­ник – пря­мо­уголь­ный.

Как мы знаем, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит в се­ре­дине ги­по­те­ну­зы, т.е. в точке . Зна­чит, ра­ди­ус равен .

Ответ: .

 Заключение

Мы вы­яс­ни­ли, что такое опи­сан­ная около мно­го­уголь­ни­ка окруж­ность. Уста­но­ви­ли, что около лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, и при­том толь­ко одну. Вы­яс­ни­ли, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180 гра­ду­сам.

Точка С вне окруж­но­сти

Мы до­ка­зы­ва­ем тео­ре­му: если сумма про­ти­во­по­лож­ных углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам, то около этого че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

Мы про­ве­ли окруж­ность через три точки  и до­ка­за­ли, что чет­вер­тая вер­ши­на  не может на­хо­дить­ся внут­ри круга.

Те­перь до­ка­жем, что точка  не может на­хо­дить­ся вне круга (см. рис. 13).

Рис. 13. До­ка­за­тель­ство о сумме про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка (точка  вне круга)

Сна­ча­ла вспом­ним свой­ство внеш­не­го угла окруж­но­сти: есть окруж­ность, точка  вне окруж­но­сти, про­ве­де­ны две се­ку­щие.

По­лу­чи­ли угол , он опи­ра­ет­ся на дугу , на дугу  (см. рис. 14).

Рис. 14. Свой­ство внеш­не­го угла окруж­но­сти

Дано:

,

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство

До­ка­за­тель­ство оче­вид­но после един­ствен­но­го до­пол­ни­тель­но­го по­стро­е­ния, а имен­но: про­ве­дем . И тогда имеем впи­сан­ный угол с вер­ши­ной , он опи­ра­ет­ся на дугу в  гра­ду­сов, зна­чит, его ве­ли­чи­на – .

 (по свой­ству впи­сан­но­го угла окруж­но­сти)

Имеем впи­сан­ный угол , он опи­ра­ет­ся на дугу в , зна­чит, его ве­ли­чи­на рав­ня­ет­ся .

 (по свой­ству впи­сан­но­го угла окруж­но­сти)

Из . То есть , от­ку­да . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Вер­нем­ся к ри­сун­ку 13: пусть  лежит вне окруж­но­сти (), тогда .

Но угол  равен по­ло­вине дуги . Скла­ды­ва­ем по­лу­чен­ные нера­вен­ства: . Т.к. сумма этих дуг со­став­ля­ет 360 гра­ду­сов, зна­чит, . А это про­ти­во­ре­чит усло­вию .

Итак, мы до­ка­за­ли, что точка  не может на­хо­дить­ся вне окруж­но­сти ().

Если точка  не может на­хо­дить­ся внут­ри окруж­но­сти и не может на­хо­дить­ся вне окруж­но­сти, зна­чит, она на­хо­дит­ся на окруж­но­сти. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/opisannaya-okruzhnost

http://www.youtube.com/watch?v=5R3PXKzsgmU

http://www.youtube.com/watch?v=YB3O_xvKCb4

http://www.youtube.com/watch?v=NnKL4hDoaqg

http://www.youtube.com/watch?v=hMzDSVjt9AA

http://kaminskaya.ucoz.ru/okruzhnostCDRcurves7.jpg

http://auto.ur.ru/img/books_covers/1007081838.jpg

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/10/2_%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE-%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0.jpg

http://5klass.net/datas/geometrija/Radius-vpisannoj-i-opisannoj-okruzhnosti/0009-009-Opisannaja-okruzhnost-okolo-chetyrjokhugolnika.jpg

 

Файлы