8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.

8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная и описанная окружность.

Комментарии преподавателя

Впи­сан­ная окруж­ность

 1. Опорные определения

Нач­нем с на­по­ми­на­ния важ­ных опор­ных фак­тов, и пер­вый факт – это ка­са­ние пря­мой и окруж­но­сти.

За­да­на окруж­ность с цен­тром О и ра­ди­у­сом r (см. Рис. 1). А – общая точка пря­мой и окруж­но­сти. Если такая точка един­ствен­ная, то пря­мая р – ка­са­тель­ная к окруж­но­сти. Ра­ди­ус ОА, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной р.

Спра­вед­ли­во об­рат­ное: если А – общая точка пря­мой и окруж­но­сти, и ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в эту точку, пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой, то общая точка един­ствен­ная, и пря­мая р – ка­са­тель­ная.

Рис. 1

Рас­смот­рим ка­са­ние окруж­но­сти сто­ро­на­ми угла (см. Рис. 2).

Пом­ним, что бис­сек­три­са угла – это гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от сто­рон дан­но­го угла.

Точка О лежит на бис­сек­три­се: пер­пен­ди­ку­ляр ОА к пря­мой а, ОВ – к пря­мой В, .

По­стро­им окруж­ность ра­ди­у­сом ОА.

Рис. 2

Утвер­жда­ем, что окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой а, т.к. А – общая точка пря­мой а и окруж­но­сти, и она един­ствен­ная (ра­ди­ус ОА пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой). Ана­ло­гич­но пря­мая b ка­са­ет­ся окруж­но­сти.

Таким об­ра­зом, имеем окруж­ность, впи­сан­ную в угол.

Мно­го­уголь­ник имеет несколь­ко углов и несколь­ко сто­рон, мы го­то­вы дать опре­де­ле­ние впи­сан­ной в него окруж­но­сти.

 2. Определение вписанной окружности

Окруж­ность на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник, если ка­са­ет­ся всех его сто­рон.

Мы будем рас­смат­ри­вать толь­ко вы­пук­лые мно­го­уголь­ни­ки, рас­смот­рим при­мер – окруж­ность впи­са­на в вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник:

Как по­лу­чить центр и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти?

Мы знаем, что точка О – центр, лежит на бис­сек­три­се угла А, впи­са­на в угол А, ана­ло­гич­но точка О лежит на бис­сек­три­се каж­до­го угла и впи­са­на в каж­дый угол.

Таким об­ра­зом, все бис­сек­три­сы че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке – точке О.

Стро­им бис­сек­три­сы, на их пе­ре­се­че­нии по­лу­ча­ем центр окруж­но­сти. Из точки О опус­ка­ем пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам

Рис. 3

че­ты­рех­уголь­ни­ка в точки K, L, M, N. Ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные к окруж­но­сти из одной точки, равны между собой, таким об­ра­зом, из каж­дой вер­ши­ны вы­хо­дит пара рав­ных ка­са­тель­ных – .

 3. Теоремы о четырехугольниках, описанных около окружности

В опи­сан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны.

Дано: окруж­ность с цен­тром О впи­са­на в че­ты­рех­уголь­ник ABCD. Че­ты­рех­уголь­ник ABCD опи­сан около окруж­но­сти. Таким об­ра­зом, опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник – это такой че­ты­рех­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность (см. Рис. 4)_.

До­ка­зать: 

Рис. 4

До­ка­за­тель­ство:

За­пи­шем ра­вен­ство через от­рез­ки ка­са­тель­ных:

;

;

Рас­кро­ем скоб­ки:

;

Таким об­ра­зом, суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, если в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны.

Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.

Тео­ре­ма

Если суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны, в него можно впи­сать окруж­ность.

Это важ­ная тео­ре­ма, так как центр впи­сан­ной окруж­но­сти на­хо­дит­ся на пе­ре­се­че­нии бис­сек­трис. От­сю­да, если суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка равны, его бис­сек­три­сы пе­ре­се­кут­ся в одной точке.

Дан­ную тео­ре­му мы до­ка­зы­вать не будем.

Пря­мую и об­рат­ную тео­ре­мы можно объ­еди­нить.

Тео­ре­ма

В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны.

 4. Примеры четырехугольников, в которые можно и нельзя вписать окружность

При­ве­дем кон­крет­ные при­ме­ры че­ты­рех­уголь­ни­ков, в ко­то­рые можно впи­сать окруж­ность и в ко­то­рые нель­зя впи­сать окруж­ность.

Ромб

У ромба все сто­ро­ны равны, от­сю­да суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны, зна­чит, в ромб можно впи­сать окруж­ность (см. Рис. 5). Кроме того, мы знаем, что диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и делят углы ромба по­по­лам. Зна­чит, каж­дая диа­го­наль – это бис­сек­три­са, бис­сек­три­сы всех че­ты­рех углов пе­ре­сек­лись в одной точке – точке О. О – центр впи­сан­ной окруж­но­сти.

Рис. 5

Квад­рат

Квад­рат – част­ный слу­чай ромба, в него также можно впи­сать окруж­ность (см. Рис. 6).

Рис. 6

Пря­мо­уголь­ник

В пря­мо­уголь­ник нель­зя впи­сать окруж­ность (см. Рис. 7), это оче­вид­но из ри­сун­ка – суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон не равны, т.к. про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны между собой, а со­сед­ние не равны:

Рис. 7

 5. Теорема об окружности, вписанной в треугольник

В любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, и толь­ко одну (см. Рис. 8).

Рис. 8

До­ка­за­тель­ство:

Мы знаем, что все бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке – пусть в точке О. Про­ве­дем бис­сек­три­сы АО, ВО, СО. Точка их пе­ре­се­че­ния О рав­но­уда­ле­на от сто­рон тре­уголь­ни­ка. Она рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла  – АС и АВ, так как при­над­ле­жит бис­сек­три­се этого угла. Ана­ло­гич­но она рав­но­уда­ле­на от сто­рон углов  и , таким об­ра­зом, от трех сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры из точки О на сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка – ОМ на сто­ро­ну АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти пер­пен­ди­ку­ля­ры и будут рас­сто­я­ни­я­ми от точки О до сто­рон тре­уголь­ни­ка, и они равны:

.

Обо­зна­чим рас­сто­я­ние от точки О до сто­рон тре­уголь­ни­ка за r и рас­смот­рим окруж­ность с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом r.

Окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и ра­ди­ус ОК, про­ве­ден­ный в эту точку, пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой АВ. Ана­ло­гич­но окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мых АС и ВС. Таким об­ра­зом, окруж­ность ка­са­ет­ся всех тех сто­рон тре­уголь­ни­ка, зна­чит, она впи­са­на в тре­уголь­ник.

До­ка­жем, что дан­ная впи­сан­ная окруж­ность един­ствен­ная. Если бы была вто­рая окруж­ность, ее центр был бы рав­но­уда­лен от всех сто­рон тре­уголь­ни­ка и лежал бы на пе­ре­се­че­нии всех бис­сек­трис. Но все бис­сек­три­сы пе­ре­се­ка­ют­ся в един­ствен­ной точке – точке О, таким об­ра­зом, и впи­сан­ная окруж­ность в тре­уголь­ник един­ствен­ная.

 6. Выводы по уроку

Итак, мы озна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем впи­сан­ной окруж­но­сти и до­ка­за­ли неко­то­рые важ­ные тео­ре­мы. В сле­ду­ю­щем уроке мы рас­смот­рим опи­сан­ную окруж­ность.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/vpisannaya-okruzhnost

http://www.youtube.com/watch?v=kGgwyLfKvgI

http://www.youtube.com/watch?v=anExTX9sEkQ

http://insuredsecured.com/images/560873dbaa6f5.jpg

http://otvet.imgsmail.ru/download/d8fc62f744e584d0d24aeaf99f0b82df_i-149.jpg

http://auto.ur.ru/img/books_covers/1007081838.jpg

 

Файлы