8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.

8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.

Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С и Е так, что А-С-Е, АВ = 10 см, АЕ = 20 см. Найдите длину АС.

Комментарии преподавателя

Тео­ре­ма о впи­сан­ном угле

 1. Основные определения, определение вписанного угла

На­пом­ним неко­то­рые опре­де­ле­ния

Опре­де­ле­ние:

Окруж­но­стью с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом R на­зы­ва­ют мно­же­ство всех точек плос­ко­сти, уда­лен­ных от точки О на рас­сто­я­ние R (см. Рис. 1).

Рис. 1

Часть окруж­но­сти   на­зы­ва­ет­ся дугой.

Дуга имеет уг­ло­вое из­ме­ре­ние.

Гра­дус­ная мера дуги  равна гра­дус­ной мере со­от­вет­ству­ю­ще­го цен­траль­но­го угла :

Рас­смот­рим при­ме­ры:

Рис. 2

Опре­де­ле­ние

Угол, вер­ши­на ко­то­ро­го лежит на окруж­но­сти, а сто­ро­ны пе­ре­се­ка­ют окруж­ность, на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным.

 

Рис. 3

За­да­на окруж­ность с цен­тром О, вер­ши­на А лежит на окруж­но­сти, сто­ро­ны АВ и АС угла пе­ре­се­ка­ют окруж­ность в точ­ках В и С, угол  на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным. Он опи­ра­ет­ся на дугу , эта дуга рас­по­ло­же­на внут­ри угла (см. Рис. 3).

 2. Теорема о вписанном угле

Впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся (см. Рис. 4).

Рис. 4

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим несколь­ко слу­ча­ев.

          Слу­чай 1: точка О при­над­ле­жит лучу АС (см. Рис. 5).

Рис. 5

До­ка­зать, что 

Обо­зна­чим угол  через , тогда угол  также будет равен , так как тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный, его сто­ро­ны ОВ и ОА равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти. Угол  яв­ля­ет­ся внеш­ним для тре­уголь­ни­ка , внеш­ний угол равен сумме двух дру­гих углов, не смеж­ных с ним, по­лу­ча­ем: , то есть уг­ло­вое из­ме­ре­ние дуги  есть . Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что впи­сан­ный угол равен по­ло­вине из­ме­ре­ния дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Слу­чай 2: точка О лежит внут­ри впи­сан­но­го угла  (см. Рис. 6).

Рис. 6

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство сво­дит­ся к преды­ду­ще­му слу­чаю. Про­ве­дем диа­метр AD, обо­зна­чим угол  за  и тогда дуга  равна  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Угол  за , тогда дуга  равна  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Вся дуга  равна:

Угол  в свою оче­редь, равен .

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что впи­сан­ный угол равен по­ло­вине дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Слу­чай 3: точка О на­хо­дит­ся вне впи­сан­но­го угла (см. Рис. 7).

Рис. 7

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство снова сво­дит­ся к пер­во­му слу­чаю. Про­ве­дем диа­метр AD, обо­зна­чим угол  через , тогда дуга  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Угол  обо­зна­чим через , тогда дуга  равна  (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Дуга  яв­ля­ет­ся раз­но­стью боль­шой дуги  и дуги :

Впи­сан­ный угол  равен . Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что впи­сан­ный угол равен по­ло­вине дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Итак, тео­ре­ма пол­но­стью до­ка­за­на, все слу­чаи рас­смот­ре­ны. И те­перь из этого вы­те­ка­ют важ­ные след­ствия.

 3. Следствия теоремы о вписанном угле

След­ствие 1:

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

Рис. 8

Угол  равен , он впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на дугу , зна­чит, дуга равна . Но на эту же дугу опи­ра­ют­ся много дру­гих углов, на­при­мер, углы  и , дан­ные углы из­ме­ря­ют­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дуги, зна­чит, они равны , как и угол.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

След­ствие 2

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на диа­метр, пря­мые (см. Рис. 9).

Рис. 9

Тео­ре­ма о впи­сан­ном угле яв­ля­ет­ся клю­чом к до­ка­за­тель­ству мно­гих дру­гих тео­рем и к ре­ше­нию мно­гих задач.

 4. Теорема о хордах

Про­из­ве­де­ние от­рез­ков каж­дой из двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная.

Рис. 10

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  (см. Рис. 10). Дан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по ра­вен­ству двух углов: равны вер­ти­каль­ные углы  и ; впи­сан­ные углы  и  опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу . Вы­пи­шем со­от­но­ше­ние по­до­бия:

При­ме­ним свой­ство про­пор­ции и пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 5. Выводы по уроку

Итак, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие впи­сан­но­го угла и тео­ре­му о впи­сан­ном угле. В сле­ду­ю­щем уроке мы рас­смот­рим свой­ства бис­сек­три­сы угла и се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/teorema-o-vpisannom-ugle

http://www.youtube.com/watch?v=v-udmw0gZIo

http://www.youtube.com/watch?v=0HoMsnCFqbw

http://www.youtube.com/watch?v=jdGg3_gYImQ

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/112-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/113-test-po-geometrii-8-klass-tema-tsentralnye-i-vpisannye-ugly-variant-2.html

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/78d/78d9db552be4b537618cdef1c61fb4cd.jpg

 

Файлы