8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.

8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанный угол. Центральный угол.

Касательная к окружности ...

Комментарии преподавателя

 Основные определения

На­пом­ним важ­ное опре­де­ле­ние – опре­де­ле­ние окруж­но­сти]

Опре­де­ле­ние:

Окруж­но­стью с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом R на­зы­ва­ют мно­же­ство всех точек плос­ко­сти, уда­лен­ных от точки О на рас­сто­я­ние R.

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что окруж­но­стью на­зы­ва­ют имен­но мно­же­ство всех точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих опи­сан­но­му усло­вию. Рас­смот­рим при­мер:

Точки A, B, C, D квад­ра­та рав­но­уда­ле­ны от точки Е, но они не яв­ля­ют­ся окруж­но­стью (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

В дан­ном слу­чае фи­гу­ра яв­ля­ет­ся окруж­но­стью, так как это все мно­же­ство точек, рав­но­уда­лен­ных от цен­тра.

Если со­еди­нить любые две точки окруж­но­сти – по­лу­ча­ем хорду. Хорда, про­хо­дя­щая через центр, на­зы­ва­ет­ся диа­мет­ром.

MB – хорда; АВ – диа­метр; MnB – дуга, она стя­ги­ва­ет­ся хор­дой МВ;

Угол  на­зы­ва­ет­ся цен­траль­ным.

Точка О – центр окруж­но­сти.

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Таким об­ра­зом, мы вспом­ни­ли, что такое окруж­ность и ос­нов­ные ее эле­мен­ты. Те­перь пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния окруж­но­сти и пря­мой.

За­да­на окруж­ность с цен­тром О и ра­ди­у­сом r. Пря­мая Р, рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой, то есть пер­пен­ди­ку­ляр ОМ, равна d.

Счи­та­ем, что точка О не лежит на пря­мой Р.

 Взаимное расположение прямой и окружности, случай с двумя общими точками

По за­дан­ным окруж­но­сти и пря­мой нам необ­хо­ди­мо найти число общих точек.

Слу­чай 1 – рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти:

В пер­вом слу­чае, когда рас­сто­я­ние d мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти r, точка М лежит внут­ри окруж­но­сти. От этой точки мы от­ло­жим два от­рез­ка – МА и МВ, длин­на ко­то­рых будет . Зна­че­ния r и d нам из­вест­ны, d мень­ше r, зна­чит, вы­ра­же­ние су­ще­ству­ет и точки А и В су­ще­ству­ют. Эти две точки лежат на пря­мой по по­стро­е­нию. Про­ве­рим, лежат ли они на окруж­но­сти. Вы­чис­лим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра рас­сто­я­ние ОА и ОВ:

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю 1

Рас­сто­я­ние от цен­тра до двух точек равно ра­ди­у­су окруж­но­сти, таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что точки А и В при­над­ле­жат окруж­но­сти.

Итак, точки А и В при­над­ле­жат пря­мой по по­стро­е­нию, при­над­ле­жат окруж­но­сти по до­ка­зан­но­му – окруж­ность и пря­мая имеют две общих точки. До­ка­жем, что дру­гих точек нет (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Для этого возь­мем на пря­мой про­из­воль­ную точку С и пред­по­ло­жим, что она лежит на окруж­но­сти – рас­сто­я­ние ОС=r. В таком слу­чае тре­уголь­ник  рав­но­бед­рен­ный и его ме­ди­а­на ON, ко­то­рая не сов­па­да­ет с от­рез­ком ОМ, яв­ля­ет­ся вы­со­той. Мы по­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие: из точки О опу­ще­но два пер­пен­ди­ку­ля­ра на пря­мую.

Таким об­ра­зом, на пря­мой Р нет дру­гих общих точек с окруж­но­стью. Мы до­ка­за­ли, что в слу­чае, когда рас­сто­я­ние d мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти r, пря­мая и окруж­ность имеют толь­ко две общие точки.

 Взаимное расположение прямой и окружности, случай с одной общей точкой

Слу­чай вто­рой – рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой равно ра­ди­у­су окруж­но­сти (рис. 5):

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю 2

На­пом­ним, что рас­сто­я­ние от точки до пря­мой – это длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, в дан­ном слу­чае ОН – пер­пен­ди­ку­ляр. Так как, по усло­вию, длина ОН равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, то точка Н при­над­ле­жит окруж­но­сти, таким об­ра­зом, точка Н общая для пря­мой и окруж­но­сти.

До­ка­жем что дру­гих общих точек нет. От про­тив­но­го: пред­по­ло­жим, что точка С на пря­мой при­над­ле­жит окруж­но­сти. В таком слу­чае, рас­сто­я­ние ОС равно r, и тогда ОС равно ОН. Но в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  ги­по­те­ну­за ОС боль­ше ка­те­та ОН. По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие. Таким об­ра­зом, пред­по­ло­же­ние невер­но и нет ни­ка­кой точки кроме Н, общей для пря­мой и окруж­но­сти. Мы до­ка­за­ли, что в дан­ном слу­чае общая точка един­ствен­ная.

 Взаимное расположение прямой и окружности, случай, когда нет общих точек

Слу­чай 3 – рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти:

Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой – длина пер­пен­ди­ку­ля­ра. Про­во­дим из точки О пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой Р, по­лу­ча­ем точку Н, ко­то­рая не лежит на окруж­но­сти, так как ОН по усло­вию боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти. До­ка­жем, что любая дру­гая точка пря­мой не лежит на окруж­но­сти. Это хо­ро­шо видно из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка , ги­по­те­ну­за ОМ ко­то­ро­го боль­ше ка­те­та ОН, а зна­чит, боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, таким об­ра­зом, точка М не при­над­ле­жит окруж­но­сти, как и любая дру­гая точка на пря­мой. Мы до­ка­за­ли, что в дан­ном слу­чае окруж­ность и пря­мая не имеют общих точек (рис. 6).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю 3

 Теоремы о диаметре и хорде

Рас­смот­рим тео­ре­му. Пред­по­ло­жим, что пря­мая АВ имеет две общих точки с окруж­но­стью (рис. 7).

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Имеем хорду АВ. Точка Н, по усло­вию, – се­ре­ди­на хорды АВ и лежит на диа­мет­ре СD.

Тре­бу­ет­ся до­ка­зать, что в таком слу­чае ди­метр пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде.

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ОАВ, он рав­но­бед­рен­ный, так как .

Точка Н, по усло­вию, – се­ре­ди­на хорды, зна­чит се­ре­ди­на ме­ди­а­ны АВ рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Мы знаем, что ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­на его ос­но­ва­нию, зна­чит, яв­ля­ет­ся вы­со­той: , от­сю­да , таким об­ра­зом, до­ка­за­но, что диа­метр, про­хо­дя­щий через се­ре­ди­ну хорды, пер­пен­ди­ку­ля­рен ей.

Спра­вед­ли­ва и об­рат­ная тео­ре­ма: если диа­метр пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде, то он про­хо­дит через ее се­ре­ди­ну.

За­да­на окруж­ность с цен­тром О, ее диа­метр СD и хорда АВ. Из­вест­но, что диа­метр пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде, нужно до­ка­зать, что он про­хо­дит через ее се­ре­ди­ну (рис. 8).

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ОАВ, он рав­но­бед­рен­ный, так как . ОН, по усло­вию, – вы­со­та тре­уголь­ни­ка, так как диа­метр пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде. Вы­со­та в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, таким об­ра­зом, АН=НВ, зна­чит, точка Н яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной хорды АВ, зна­чит, до­ка­за­но, что диа­метр, пер­пен­ди­ку­ляр­ный хорде, про­хо­дит через ее се­ре­ди­ну.

Пря­мую и об­рат­ную тео­ре­му можно обоб­щить сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

Тео­ре­ма:

Диа­метр пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде тогда и толь­ко тогда, когда он про­хо­дит через ее се­ре­ди­ну.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/vzaimnoe-raspolozhenie-pryamoy-i-okruzhnosti

http://www.youtube.com/watch?v=knZu5-MW6QA

http://www.youtube.com/watch?v=CAuua4e2ofs

http://ppt4web.ru/uploads/ppt/1402/c3c8c0e3fde2cce4bcb6ddc8ca3a978b.ppt

http://player.myshared.ru/1246878/data/images/img10.jpg

http://www.kmrz.ru/catimg/40/400239.jpg

 

Файлы