8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

Комментарии преподавателя

 Введение

По­доб­ны­ми на­зы­ва­ют­ся такие тре­уголь­ни­ки, у ко­то­рых углы со­от­вет­ствен­но равны, а сто­ро­ны од­но­го со­от­вет­ствен­но про­пор­ци­о­наль­ны сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка (см. рис. 1).

Рис. 1. По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

От­но­ше­ние длин сто­рон од­но­го тре­уголь­ни­ка к сход­ствен­ным сто­ро­нам дру­го­го на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия (): .

На прак­ти­ке для уста­нов­ле­ния по­до­бия тре­уголь­ни­ков до­ста­точ­но про­ве­рить неко­то­рые ра­вен­ства (см. рис. 1). Ком­би­на­ции этих ра­венств на­зы­ва­ют­ся при­зна­ка­ми по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Таким об­ра­зом, при­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков – это гео­мет­ри­че­ские при­зна­ки, поз­во­ля­ю­щие уста­но­вить, что два тре­уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми без ис­поль­зо­ва­ния всех эле­мен­тов.

На дан­ном уроке мы рас­смот­рим пер­вый при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

 Первый признак подобия треугольников

Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

До­ка­за­тель­ство пер­во­го при­зна­ка по­до­бия тре­уголь­ни­ков

Дано: (см. рис. 2).

До­ка­зать: по­до­бие дан­ных тре­уголь­ни­ков .

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

 Доказательство первого признака подобия треугольников

До­ка­за­тель­ство

Для до­ка­за­тель­ства по­до­бия дан­ных тре­уголь­ни­ков необ­хо­ди­мо уста­но­вить ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих углов и ра­вен­ство от­но­ше­ний со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон, то есть: .

1) Из тео­ре­мы о сумме углов тре­уголь­ни­ка из­вест­но, что сумма внут­рен­них углов тре­уголь­ни­ка равна . Сле­до­ва­тель­но, .

Так как , то . Сле­до­ва­тель­но, .

Ра­вен­ство углов уста­нов­ле­но.

2) Про­пор­ци­о­наль­ность сто­рон опре­де­ля­ет­ся, ис­хо­дя из свойств пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков с оди­на­ко­вым углом: если угол од­но­го тре­уголь­ни­ка равен углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то пло­ща­ди этих тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ния сто­рон, за­клю­ча­ю­щих рав­ные углы.

а) Угол , сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние пло­ща­дей дан­ных тре­уголь­ни­ков равно: .

, сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние пло­ща­дей дан­ных тре­уголь­ни­ков также равно: .

Левые части по­лу­чен­ных вы­ра­же­ний равны, по­это­му равны и пра­вые части: .

 и  – это одна и та же сто­ро­на;  и  – это одна и та же сто­ро­на. Сле­до­ва­тель­но, .

Со­кра­ща­ем дан­ное вы­ра­же­ние на .

Пер­вая про­пор­ци­о­наль­ность до­ка­за­на.

б) Угол , сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние пло­ща­дей дан­ных тре­уголь­ни­ков равно: .

, сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние пло­ща­дей дан­ных тре­уголь­ни­ков также равно: .

Левые части по­лу­чен­ных вы­ра­же­ний равны, по­это­му равны и пра­вые части: .

 и  – это одна и та же сто­ро­на;  и  – это одна и та же сто­ро­на. Сле­до­ва­тель­но, .

Со­кра­ща­ем дан­ное вы­ра­же­ние на .

Вто­рая про­пор­ци­о­наль­ность до­ка­за­на.

в) Так как  и , то .

Мы уста­но­ви­ли ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих углов и ра­вен­ство от­но­ше­ний со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ные.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Задача 1

Дано: (см. рис. 3); .

Найти: и .

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

1) Дан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ные, со­глас­но пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков: .

2) Опре­де­лим ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия дан­ных тре­уголь­ни­ков: .

Сле­до­ва­тель­но, .

Ответ.

 Задача 2

Найти  (см. рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дано и  – пря­мо­уголь­ные; .

Найти.

Ре­ше­ние

Дан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ные, так как в каж­дом тре­уголь­ни­ке есть пря­мой угол и  (пер­вый при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков): .

Так как тре­уголь­ни­ки по­доб­ные, то от­но­ше­ния сход­ствен­ных сто­рон у них равны. Для опре­де­ле­ния сход­ствен­ных сто­рон необ­хо­ди­мо пом­нить, что они лежат на­про­тив рав­ных углов.

Под­ста­вим в дан­ное вы­ра­же­ние из­вест­ные зна­че­ния: .

Ответ.

За­да­чи

У неко­то­рых тре­уголь­ни­ков (рав­но­бед­рен­ных, пря­мо­уголь­ных, рав­но­сто­рон­них) уже име­ют­ся вза­и­мо­свя­зи между эле­мен­та­ми, по­это­му тре­бу­ет­ся мень­ше дан­ных для фор­му­ли­ров­ки при­зна­ков по­до­бия.

Пер­вый при­знак по­до­бия пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков: если пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки имеют рав­ный ост­рый угол, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны (см. рис. 5).

Рис. 5. По­до­бие пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по остро­му углу

 Задачи

За­да­ча 3

До­ка­зать, что рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки с рав­ны­ми уг­ла­ми при вер­шине по­доб­ны.

Дано – рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки;  (см. рис. 6).

До­ка­зать.

До­ка­за­тель­ство

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

1) Сумма внут­рен­них углов тре­уголь­ни­ка равна . Так как  рав­но­бед­рен­ный, то .

Сле­до­ва­тель­но, .

2) Ана­ло­гич­но най­дём . Так как  рав­но­бед­рен­ный, то .

Сле­до­ва­тель­но, .

3) Так как , то . Мы по­лу­чи­ли две пары рав­ных углов, по­это­му , со­глас­но пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

За­да­ча 4

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке  с углом  из вер­ши­ны  ос­но­ва­ния про­ве­де­на бис­сек­три­са . До­ка­зать по­до­бие тре­уголь­ни­ков  и .

Дано – рав­но­бед­рен­ный;  ( – бис­сек­три­са) (см. рис. 7).

До­ка­зать.

До­ка­за­тель­ство

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

1) Так как в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке задан угол при вер­шине, то можно найти углы при ос­но­ва­нии: .

2) Так как  – это бис­сек­три­са, то .

3) В  най­дём .

4) Таким об­ра­зом,  и  – рав­но­бед­рен­ные (см. рис. 8) с рав­ны­ми уг­ла­ми при вер­шине (). Как из­вест­но, рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки с рав­ны­ми уг­ла­ми при вер­шине по­доб­ны: . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/pervyy-priznak-podobiya-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=u06cR3rulTo

http://www.youtube.com/watch?v=9YKu5pTcSeI

https://im1-tub-ru.yandex.net/i?id=543f0d91d5b2b9d56bc00f29a22e30f2&n=33&h=190&w=152

http://www.examens.ru/images/otbet/10/tmpc-81.jpg

http://www.examens.ru/images/otbet/10/tmpc-80.jpg

 

Файлы