8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Чему равна сходственная ей сторона другого треугольника?

Комментарии преподавателя

От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков

 1. Понятие подобия треугольников

Нач­нем с того, что вве­дем опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

. От­но­ше­ние длин сто­рон тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия ().

Рис. 1

За­ме­ча­ние. Про­пор­ци­о­наль­ные сто­ро­ны по­доб­ных тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют еще сход­ствен­ны­ми сто­ро­на­ми.

Важно по­ни­мать, что в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках про­пор­ци­о­наль­ны не толь­ко сто­ро­ны, но и дру­гие со­от­вет­ствен­ные ли­ней­ные эле­мен­ты: вы­со­ты, ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы, про­ве­ден­ные к со­от­вет­ствен­ным сто­ро­нам, пе­ри­мет­ры и т.п. Т.е. все эти ве­ли­чи­ны от­но­сят­ся, как ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия. Во­прос за­клю­ча­ет­ся в том, верно ли ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние и для пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков. Для того чтобы от­ве­тить на этот во­прос, сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му.

Тео­ре­ма 1. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та их по­до­бия.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки  на Рис. 2.

Рис. 2

 2. Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по опре­де­ле­нию сле­ду­ет, что .Вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щей тео­ре­мой, ко­то­рую мы сфор­му­ли­ро­ва­ли в преды­ду­щей теме «Пло­щадь»: если у двух тре­уголь­ни­ков равны углы (), то их пло­ща­ди от­но­сят­ся, как про­из­ве­де­ние сто­рон, за­клю­ча­ю­щих дан­ные углы. За­пи­шем этот факт в виде фор­му­лы:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

За­ме­ча­ние. Воз­мож­но до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы не един­ствен­ным ука­зан­ным спо­со­бом, а и с ис­поль­зо­ва­ни­ем раз­лич­ных фор­мул для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, но мы их ука­зы­вать не будем.

 3. Задачи на применение теоремы об отношении площадей подобных треугольников

Рас­смот­рим ряд при­ме­ров, в ко­то­рых при­ме­ня­ет­ся рас­смот­рен­ная тео­ре­ма.

При­мер 1. Если два тре­уголь­ни­ка по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия , то чему равно от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков.

Ре­ше­ние. За­да­ча уст­ная и не тре­бу­ет вы­пол­не­ния чер­те­жа. Вос­поль­зу­ем­ся изу­чен­ной тео­ре­мой: .

Ответ. 2.

При­мер 2. Тре­уголь­ни­ки  по­доб­ны. Пло­щадь  равна , пло­щадь  равна . Сто­ро­на  равна 18 см, найти сход­ствен­ную ей сто­ро­ну .

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся для удоб­ства го­то­вым Рис. 2. По­сколь­ку от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков: , то по тео­ре­ме .

Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков: .

Ответ. 9 см.

При­мер 3. Дан тре­уголь­ник , пло­щадь ко­то­ро­го равна  и в нем про­ве­де­на сред­няя линия  па­рал­лель­но . Необ­хо­ди­мо найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, ко­то­рый от­се­ка­ет сред­няя линия от тре­уголь­ни­ка .

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 3.

Рис. 3

Из ри­сун­ка видно, что в усло­вии тре­бу­ет­ся найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка . Тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны, т.к. равны их углы ( общий,  как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых и се­ку­щей) и сход­ствен­ные сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том про­пор­ци­о­наль­но­сти  ( и  – се­ре­ди­ны со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон, а  по тео­ре­ме о сред­ней линии).

Тогда по тео­ре­ме об от­но­ше­нии пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков .

Ответ. .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/otnoshenie-ploschadey-podobnyh-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=MFU8zogBZW4

http://900igr.net/datas/geometrija/Tri-priznaka-podobija-treugolnikov/0017-017-Koeffitsient-podobija-k.jpg

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/99-test-po-geometrii-8-klass-tema-opredelenie-podobnykh-treugolnikov-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/100-test-po-geometrii-8-klass-tema-opredelenie-podobnykh-treugolnikov-variant-2.html

 

Файлы