8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника 8 см2. Чему равна площадь второго треугольника?

Комментарии преподавателя

 Определение подобия, равенства фигур

Фи­гу­ра – это мно­же­ство точек (тре­уголь­ник, окруж­ность, тра­пе­ция и т.д.). Неко­то­рые фи­гу­ры могут иметь оди­на­ко­вые раз­ме­ры и оди­на­ко­вую форму. Они на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми. Две гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем.

Ранее рас­смот­рен­ные при­зна­ки ра­вен­ства тре­уголь­ни­ка имели такой смысл: по трем эле­мен­там га­ран­ти­ро­ва­ли ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков, а зна­чит, и ра­вен­ство всех со­от­вет­ствен­ных эле­мен­тов (высот, бис­сек­трис, ме­ди­ан). Эти эле­мен­ты сов­ме­стят­ся при на­ло­же­нии.

Итак, рав­ные фи­гу­ры имеют:

¾    оди­на­ко­вую форму;

¾    оди­на­ко­вые раз­ме­ры.

Рас­смот­рим фи­гу­ру, форму ко­то­ро­го оста­вим преж­ней, а раз­ме­ры из­ме­ним в рав­ное число раз.

 

 Примеры подобия общих фигур

При­мер 1

Имеем пра­виль­ный тре­уголь­ник АВС. Длина сто­ро­ны равна а. Умень­шим сто­ро­ну, раз­де­лив ее на 2. По­лу­чим тре­уголь­ник А1В1С1, сто­ро­на ко­то­ро­го равна . Этот тре­уголь­ник пра­виль­ный. Форма оста­лась преж­ней, а раз­ме­ры из­ме­ни­лись – умень­ши­лись в два раза (рис. 1). Далее до­ка­жем это.

Рис. 1 По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

До­ка­за­тель­ство

Мы встре­ча­лись с таким тре­уголь­ни­ком А2В2С2. Его вер­ши­ны – это се­ре­ди­ны сто­рон ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка АВС (см. рис. 2).

Рис. 2. Пра­виль­ный тре­уголь­ник

В итоге: был пра­виль­ный ∆АВС; по­лу­чи­ли вто­рой пра­виль­ный ∆ А1В1С1. Длина сто­ро­ны вто­рой фи­гу­ры из­ме­ни­лась в два раза. Такие тре­уголь­ни­ки на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми. За­пи­сы­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: ∆ АВС  ∆ А1В1С1.

Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия k = 2, так как все раз­ме­ры из­ме­ни­лись в два раза.

При­мер 2

При­бли­жа­ем­ся к дому. Дом из­да­ле­ка – ма­лень­кий пря­мо­уголь­ник. Под­хо­дим ближе – пря­мо­уголь­ник боль­шой, но, ви­ди­мо, раз­ме­ры из­ме­ни­лись в одно и то же число раз. Это вто­рой при­мер по­доб­ных фигур.

При­мер 3

Имеем карту Крыма и ре­аль­ный Крым. Мас­штаб при­бли­зи­тель­но 1: 10 000 раз. Форма одна и та же, но все раз­ме­ры из­ме­не­ны в 10 000 раз – умень­ше­ны.

Это при­ме­ры фигур, ко­то­рые имеют оди­на­ко­вую форму, но раз­ные раз­ме­ры. При­чем раз­ме­ры из­ме­ня­ют­ся в одно и то же число раз.

 Пример применение подобия фигур, в частности треугольников

После вы­ше­ука­зан­ных при­зна­ков ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков изу­чим при­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Суть: по неболь­шой ин­фор­ма­ции об ис­ход­ных тре­уголь­ни­ках мы по­лу­ча­ем много ин­фор­ма­ции об этих тре­уголь­ни­ках.

При­мер 4

Пусть уда­лось уста­но­вить по­до­бие тре­уголь­ни­ков ∆АВС  ∆А1В1С1 и найти ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия k = 3, то мы можем утвер­ждать, что все ли­ней­ные раз­ме­ры тре­уголь­ни­ков про­пор­ци­о­наль­ны со­от­но­ше­ни­ям, рав­ным 3.

При этом ра­вен­ство фигур будет част­ным слу­ча­ем по­до­бия с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия k =1.

 Разветвление.  Пропорциональные отрезки

Чтобы изу­чать по­до­бие фигур (в част­но­сти, тре­уголь­ни­ков), необ­хо­ди­мо пе­ре­ве­сти опре­де­лен­ные по­ня­тия на стро­гий ма­те­ма­ти­че­ский язык.

1. Про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки

Если то от­рез­ки  и  на­зы­ва­ют­ся про­пор­ци­о­наль­ны­ми от­рез­кам  и .

В опре­де­ле­нии по­доб­ных тре­уголь­ни­ков важ­ную роль иг­ра­ет про­пор­ци­о­наль­ность от­рез­ков. С про­пор­ци­о­наль­ны­ми от­рез­ка­ми встре­ча­ем­ся в обоб­щен­ной тео­ре­ме Фа­ле­са (ссыл­ка 2): сто­ро­ны угла Ð О рас­се­ка­ют­ся па­рал­лель­ны­ми пря­мы­миl1||l2||lна про­пор­ци­о­наль­ные части. 

 =  и т.д.

 Определение подобие треугольников

Имеем два тре­уголь­ни­ка, у ко­то­рых со­от­вет­ствен­но равны углы (рис. 3)

Ð А = Ð А1;

Ð В = Ð В1;

Ð С = Ð С1.

Рис. 3. Тре­уголь­ни­ки с со­от­вет­ствен­но рав­ны­ми уг­ла­ми

Сто­ро­ны, ко­то­рые лежат про­тив рав­ных углов в этих тре­уголь­ни­ках, на­зы­ва­ют­ся сход­ствен­ны­ми: АВ и А1В1;

ВС и В1С1;

СА и С1А1.

Опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков рас­смот­рим ниже.

Опре­де­ле­ние: два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, если:

¾    их углы со­от­вет­ствен­но равны (при­ве­де­но выше);

¾    сход­ствен­ные сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны. Их  со­от­но­ше­ние на­зо­вем k – ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия.

Тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, если вы­пол­ня­ют­ся все эти усло­вия. Но, ока­зы­ва­ет­ся, можно огра­ни­чить­ся толь­ко неко­то­ры­ми из этих ра­венств и га­ран­ти­ро­вать факт по­до­бия.

Цель на сле­ду­ю­щих уро­ках: изу­чить три при­зна­ка по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

 Разветвление. Задача на пропорциональность отрезков

До­ка­жем тео­ре­му, что бис­сек­три­са угла тре­уголь­ни­ка рас­се­ка­ет его про­ти­во­по­ло­жен­ную сто­ро­ну на части, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам.

Дано: AL – бис­сек­три­са.

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство 

S1 – пло­щадь ∆ ABL

S2 – пло­щадь ∆ ACL

Вспом­ним, что бис­сек­три­са – гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от сто­рон угла. И этим свой­ством об­ла­да­ют все ее точки, в том числе и точка L. По­это­му рас­сто­я­ние r от точки до сто­рон угла одно и то же. Ис­поль­зуя свой­ство бис­сек­три­сы за­пи­шем: .

Так как левые части равны, то равны и пра­вые:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/podobie-obschih-figur

http://www.youtube.com/watch?v=GKpXvzdLU_s

http://www.youtube.com/watch?v=YgCejzSjHUc

https://www.youtube.com/watch?v=cGEjWLLSdDE

http://u.900igr.net/zip/178a788874f31afcebc83a7912a12dfb.zip

http://prezentacii.com/uploads/ppt15/02/opredelenie-podobnyh-treugolnikov-8-klass.rar

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=e821a8f9558f985e56f1e5701baecc6f&n=33&h=190&w=133

http://fs00.infourok.ru/images/doc/222/16935/1/img3.jpg

 

 

Файлы