8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

Формула Герона.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Формула Герона.

Комментарии преподавателя

История формулы Герона

На данном уроке мы изучим формулу Герона, позволяющую вычислять площадь треугольника по его сторонам.

До этого мы умели вычислять площадь треугольника, зная его основание и высоту: и катеты (для прямоугольного треугольника): . Формула Герона – это новая формула, которая связывает площадь треугольника и длины всех трёх его сторон.

Открыта эта формула была, по всей видимости, ещё Архимедом в веке до н.э., но его доказательство не дошло до наших дней. А вот в «Метрике» Герона Александрийского ( век до н.э.) она есть.

Герона (см. Рис. 1) интересовали треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых также является целым числом. Такие треугольники в его честь называют героновыми.

Простейший геронов треугольник – так называемый египетский треугольник (со сторонами 3, 4 и 5).

Герон Александрийский

Рис. 1. Герон Александрийский (Источник)

Теорема

Площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле: , где – полупериметр, – длины сторон треугольника.

Доказательство

Рассмотрим призвольный треугольник (пусть – острые, напомним, что в треугольнике всегда есть хотя бы два острых угла). Обозначим в нём: . Проведём высоту , а также обозначим: (см. Рис. 2.).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Воспользуемся следствием из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников : (1), : (2).

Приравняв правые части в формулах (1) и (2), получаем:

, откуда: . Так как (3), то получаем: (4).

Сложим формулы (3) и (4):

.

Теперь вернёмся к формуле (1) и подставим в неё полученное выражение для :

.

Теперь вспомним, что полупериметр выражается формулой: . Отсюда: . Тогда преобразуем полученную формулу:

.

Отсюда высота равна: .

Запишем известную нам формулу для площади треугольника: .

Доказано.

Задача 1

Стороны треугольника равны . Найти высоты этого треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник . Проведём в нём высоты . Напомним, что все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Формула Герона и её доказательство

Вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона.

.

Тогда площадь треугольника:

.

Теперь запишем формулу для площади треугольника через высоту:

.

Аналогично находим остальные высоты: , .

Ответ:.

Задачи на применение формулы Герона

Задача 2

Дан , его основание , боковые стороны и соответственно . Точка , лежащая внутри треугольника, находится на расстоянии от стороны и от стороны . Найти расстояние от точки до стороны (см. Рис. 4).