8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма.

Комментарии преподавателя

Площадь квадрата. Площадь прямоугольника

1. Теорема про площадь прямоугольника и её доказательство

На данном уроке мы докажем формулу для площади прямоугольника и решим несколько задач на её применение.

Теорема

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (см. Рис. 1).

Если записать краткую формулировку этой теоремы, то она будет выглядеть так: .

Рис. 1

Доказательство:

Для доказательства данной теоремы достроим данный прямоугольник до квадрата со стороной  – см. Рис. 2.

Рис. 2

Площадь этого квадрата (по 4 свойству площадей) равна . Этот квадрат состоит из двух квадратов со сторонами  и  и двух прямоугольников со сторонами  и , площадь каждого из которых мы приняли за .

Воспользовавшись свойством площадей, составим следующее равенство:

.

Раскроем скобки в левой части:

Из этого равенства следует, что: .

Доказано.

2. Решение задач на применение формулы площади прямоугольника

Теперь решим несколько задач, используя данную теорему.

Задача 1

Смежные стороны прямоугольника равны  см и . Найдите площадь  этого прямоугольника (см. Рис. 3).

Решение

Рис. 3

Воспользуемся теоремой, которую мы только что доказали. В данном случае: , . Получаем: .

Ответ:.

3. Задача на применение свойства площадей

Задача 2

Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) одну пару противоположных сторон увеличить в 3 раза;

б) одну пару противоположных сторон увеличить в 3 раза, а другую пару – уменьшить в 3 раза?

Решение:

а) На Рис. 4 изображена пара соответствующих прямоугольников.

Рис. 4

Воспользуемся формулой для площади прямоугольника: , . Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 3 раза.

б) На Рис. 5 изображена пара соответствующих прямоугольников.

Рис. 5

Воспользуемся формулой для площади прямоугольника: , . Таким образом, площадь прямоугольника не изменится.

Ответ: а) площадь прямоугольника увеличится в 3 раза; б) площадь прямоугольника не изменится.

Решим более сложную задачу, которая потребует от нас знания предыдущего материала.

Задача 3

Дан прямоугольник .  – середина , точка  – точка пересечения прямых  и . Найти площадь треугольника , если площадь прямоугольника : .

Решение:

Рис. 6

Рассмотрим треугольники:  и . Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (равенство сторон и двух углов). Действительно:

.

Из равенства треугольников следует равенство их площадей, то есть: .

Кроме того, треугольник  состоит из треугольника  и четырёхугольника . Значит: .

Доказано.

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/ploschad-kvadrata-ploschad-pryamougolnika

http://www.youtube.com/watch?v=ijcQNp3qC0U

http://www.youtube.com/watch?v=21ecpaKG6Z4

http://www.youtube.com/watch?v=Jj9Xs2daB2k

http://www.youtube.com/watch?v=f4FYkfcvRho

http://fs00.infourok.ru/images/doc/302/301153/img16.jpg

http://frannersmicop.science/pic-www.uchportal.ru/_ld/224/86666795.jpg

http://static.zoobrilka.com/files/gdz/15693/291017.jpg

Файлы