8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.

8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.

Комментарии преподавателя

Пря­мо­уголь­ник

 1. Определение и свойство прямоугольника

Вве­дем опре­де­ле­ние пря­мо­уголь­ни­ка.

Опре­де­ле­ние. Пря­мо­уголь­ни­ком на­зы­ва­ют па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го все углы пря­мые (см. Рис. 1).

Рис. 1. Пря­мо­уголь­ник

За­ме­ча­ние. Оче­вид­ным эк­ви­ва­лент­ным опре­де­ле­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка (ино­гда его име­ну­ют при­зна­ком пря­мо­уголь­ни­ка) можно на­звать сле­ду­ю­щее. Пря­мо­уголь­ник – это па­рал­ле­ло­грамм с одним углом . Это утвер­жде­ние прак­ти­че­ски оче­вид­но, и мы оста­вим его без до­ка­за­тель­ства, поль­зу­ясь далее как опре­де­ле­ни­ем.

Т.к. пря­мо­уголь­ник, как это видно из опре­де­ле­ния, яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, то ему при­су­щи все ранее опи­сан­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма, од­на­ко у него име­ют­ся и свои спе­ци­фи­че­ские свой­ства, ко­то­рые мы сей­час рас­смот­рим.

Тео­ре­ма 1. Свой­ство пря­мо­уголь­ни­ка. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим на Рис. 2 пря­мо­уголь­ник (как и у па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны). Все углы пря­мые. Необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что диа­го­на­ли .

Рис. 2

Рас­смот­рим для до­ка­за­тель­ства пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, в ко­то­рых при­сут­ству­ют ука­зан­ные диа­го­на­ли  и :

 пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  по двум ка­те­там. Сле­до­ва­тель­но, равны и ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ков , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

Об­ра­тим вни­ма­ние, что это свой­ство спе­ци­фи­че­ское и от­но­сит­ся толь­ко к пря­мо­уголь­ни­ку, ко всем осталь­ным па­рал­ле­ло­грам­мам оно не от­но­сит­ся.

 2. Признак прямоугольника

Тео­ре­ма 2. При­знак пря­мо­уголь­ни­ка. Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм – пря­мо­уголь­ник.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим Рис. 3. Нам необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что изоб­ра­жен­ный па­рал­ле­ло­грамм с двумя рав­ны­ми диа­го­на­ля­ми – пря­мо­уголь­ник, т.е. имеет пря­мой угол.

Рис. 3

По­сколь­ку  – па­рал­ле­ло­грамм, то можем вос­поль­зо­вать­ся его свой­ством: . Кроме этого,  – по трем сто­ро­нам (), сле­до­ва­тель­но, . Тогда имеем:

 пря­мо­уголь­ник, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

 3. Разные задачи на прямоугольники

Рас­смот­рим при­ме­ры.

При­мер 1. В пря­мо­уголь­ни­ке  диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка , если .

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 4.

Рис. 4

Сна­ча­ла будем ис­кать сто­ро­ны ука­зан­но­го тре­уголь­ни­ка:  ( по свой­ству диа­го­на­лей в любом па­рал­ле­ло­грам­ме). Но в пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли равны .

Т.к. угол .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник  (ана­ло­гич­но углу ),  рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но, его пе­ри­метр .

Ответ: 18 см.

При­мер 2. Най­ди­те пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка , если бис­сек­три­са угла  делит сто­ро­ну  на от­рез­ки 2 см и 3 см.

Рис. 5 (а), рис. 5 (б)

Ре­ше­ние. Сразу же стоит за­ме­тить, что это при­мер за­да­чи на два ва­ри­ан­та ре­ше­ния, на­ли­чие ко­то­рых еще надо за­ме­тить. «Изю­мин­ка» усло­вия за­да­чи за­клю­ча­ет­ся в том, что не ука­за­но, в каком имен­но по­ряд­ке рас­по­ло­же­ны от­рез­ки, на ко­то­рые бис­сек­три­са пря­мо­уголь­ни­ка раз­би­ва­ет его сто­ро­ну. В ре­зуль­та­те имеем два ва­ри­ан­та ри­сун­ков 5 (а, б).

Т.к.  – бис­сек­три­са, то , кроме того,  – как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но,  рав­но­бед­рен­ный, а из этого сле­ду­ет, что .

Далее разо­бьем ре­ше­ние на две части, в каж­дой из ко­то­рых рас­смот­рим от­дель­ный слу­чай.

А. Рис. 5 (а). . Сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка  (для обоих слу­ча­ев). Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка .

Б. Рис. 5 (б). . Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка .

Ответ: .

При­мер 3. До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна по­ло­вине ги­по­те­ну­зы.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим Рис. 6.

Рис. 6

Необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что . Между про­чим, это свой­ство ме­ди­а­ны в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке уже ис­поль­зо­ва­лось нами ранее, сей­час мы до­ка­жем его, ис­поль­зуя свой­ства пря­мо­уголь­ни­ка.

Про­длим ме­ди­а­ну  на ее длину, рас­сто­я­ние до точки . Мы по­лу­чи­ли че­ты­рех­уголь­ник . В нем  и  диа­го­на­ли, и для него мы можем ука­зать сле­ду­ю­щие факты:

 па­рал­ле­ло­грамм по тре­тье­му при­зна­ку. Кроме того, из­вест­но, что в нем  пря­мо­уголь­ник (по ука­зан­но­му вна­ча­ле урока опре­де­ле­нию – при­зна­ку пря­мо­уголь­ни­ка).

По свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка можно ука­зать, что у него равны диа­го­на­ли, а сле­до­ва­тель­но, равны и их по­ло­вин­ки, т.е. по­лу­ча­ем , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

При­мер 4. (об­рат­ная за­да­ча). В тре­уголь­ни­ке  ме­ди­а­на . До­ка­жи­те, что .

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим Рис. 7 и обо­зна­чим на нем углы .

Рис. 7

Рас­смот­рим , он рав­но­бед­рен­ный ( по усло­вию) ⇒ .

Рас­смот­рим , он также рав­но­бед­рен­ный ( по усло­вию) ⇒ .

За­пи­шем сумму углов тре­уголь­ни­ка :  . Но угол  что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

 4. Задачи с прямоугольниками, вписанными в треугольники

При­мер 5. В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, каж­дый катет ко­то­ро­го равен 6 см, впи­сан пря­мо­уголь­ник, име­ю­щий с тре­уголь­ни­ком общий угол. Най­ди­те пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 8. Ясно, что можно по­стро­ить мно­же­ство раз­лич­ных пря­мо­уголь­ни­ков, впи­сан­ных в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, но вы­яс­ня­ет­ся, что их пе­ри­мет­ры будут оди­на­ко­вы, по­ка­жем это и най­дем ис­ко­мый пе­ри­метр.

Рис. 8

По усло­вию  рав­но­бед­рен­ный .

Ис­ко­мый пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка: .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный .

Тогда пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка .

Ответ: 12 см.

При­мер 6. В рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник впи­сан пря­мо­уголь­ник так, что две его вер­ши­ны на­хо­дят­ся на ги­по­те­ну­зе, а две дру­гие – на ка­те­тах. Чему равны сто­ро­ны и пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что они от­но­сят­ся как 5:2, а ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка равна 45 см?

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 9 и ука­жем на нем все эле­мен­ты, ко­то­рые мы вве­дем в про­цес­се ре­ше­ния за­да­чи.

Рис. 9

По усло­вию  рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный .

Ука­за­но, что впи­сан­ный пря­мо­уголь­ник имеет за­дан­ные про­пор­ции, по­это­му его сто­ро­ны можно вве­сти, как опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство неиз­вест­ных нам ча­стей .

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  – они пря­мо­уголь­ные и имеют по од­но­му углу , сле­до­ва­тель­но, вто­рой угол у них тоже по  (см. ре­ше­ние преды­ду­щей за­да­чи), т.е. они рав­но­бед­рен­ные, и .

Те­перь можем вы­пи­сать длину ги­по­те­ну­зы  как сумму длин от­рез­ков, на ко­то­рые она раз­би­та впи­сан­ным пря­мо­уголь­ни­ком (через те части , ко­то­рые мы ввели): .

Те­перь можем по­счи­тать длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка и его пе­ри­метр: .

Ответ: сто­ро­ны равны .

Се­год­ня мы рас­смот­ре­ли пря­мо­уголь­ник, его свой­ства, при­зна­ки и за­да­чи на пря­мо­уголь­ник. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с та­ки­ми част­ны­ми слу­ча­я­ми па­рал­ле­ло­грам­ма, как ромб и квад­рат.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/pryamougolnik

http://www.youtube.com/watch?v=RoLxsWnSL6k

http://www.youtube.com/watch?v=IR_41PVrolM

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/08/25/pryamougolnik_0.zip

http://www.mathematics-repetition.com/category/8-klass-geometriya

http://player.myshared.ru/1246878/data/images/img3.jpg

http://ege-study.ru/wp-content/uploads/2013/03/%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8.png

http://gdz7.ru/files/cub/66/ddf77a4487ef15adf56e3f1b79c34c21.jpg

http://gdz7.ru/files/cub/80/d527b10c05e422830980745055460047.jpg

 

Файлы