8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.

Теорема Фалеса.

ДАЛЬШЕ

Теорема Фалеса.

Комментарии преподавателя

Трапеция

1. Трапеция и её виды

Определение

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

На Рис. 1. изображена произвольная трапеция. – это боковые стороны (те, которые не параллельны). – основания (параллельные стороны).

Рис. 1. Трапеция

Если сравнивать трапецию с параллелограммом, то у параллелограмма две пары параллельных сторон. То есть параллелограмм не является частным случаем трапеции, так как в определении трапеции чётко сказано, что две стороны трапеции не параллельны.

Выделим некоторые виды трапеции (частные случаи):

равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны;
прямоугольная трапеция: один из углов равен (из определения трапеции и свойства параллельных прямых следует, что два угла будут по ).

2. Средняя линия трапеции и её свойства

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

На Рис. 2. изображена трапеция со средней линией .

Рис. 2. Средняя линия трапеции

Свойства средней линии трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции.

Доказательство:

Пусть середина боковой стороны трапеции – точка . Проведём через эту точку прямую, параллельную основаниям. Эта прямая пересечёт вторую боковую сторону трапеции в точке .

По построению: . По теореме Фалеса из этого следует: . Значит, – середина стороны . Значит, – средняя линия.

Доказано.

2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции: .

Доказательство:

Проведём среднюю линию трапеции и одну из диагоналей: например, (см. Рис. 3).

Рис. 3

По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как равны отрезки: . Значит, отрезок является средней линией треугольника , а отрезок – средней линией треугольника .

Значит, .

Примечание: это следует из свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Первая часть этого свойства доказывается аналогично с доказательством первого свойства средней линии трапеции, а вторую часть можно доказать (к примеру, для средней линии треугольника ), проведя через точку прямую, параллельную . Из теоремы Фалеса будет следовать, что эта прямая будет являться средней линией, а образованный четырёхугольник – параллелограммом (две пары попарно параллельных сторон). Отсюда уже несложно получить требуемое свойство.

Получаем: .

Доказано.

Рассмотрим теперь подробнее основные виды трапеции и их свойства.

3. Признаки равнобедренной трапеции

Напомним, что равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны. Рассмотрим свойства боковой трапеции.

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

Выполним стандартное дополнительное построение, которое очень часто используется при решении различных задач на трапецию: проведём прямую параллельно боковой стороне (см. Рис. 4).

Рис. 4

– параллелограмм.

Отсюда следует, что: . Значит, треугольник – равнобедренный. А значит, углы при его основании равны, то есть: (последние два угла равны, как соответственные при параллельных прямых ).

Доказано.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

Для доказательства этого свойства воспользуемся предыдущим. Действительно, рассмотрим треугольники: и (см. Рис. 5.).

Рис. 5

(по первому признаку равенства треугольников: две стороны и угол между ними).

Из этого равенства сразу следует, что: .

Доказано.

Оказывается, что, как и в случае с параллелограммом, у равнобедренной трапеции свойства одновременно являются и признаками. Сформулируем и докажем эти признаки.

Признаки равнобедренной трапеции

1. Дано: – трапеция; .

Доказать:

Доказательство:

Доказательство данного признака абсолютно аналогично доказательству соответствующего свойства. Проведём в трапеции прямую параллельно стороне (см. Рис. 6).

– параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).

(соответственные углы при параллельных прямых). Откуда, пользуясь условием, получаем: – равнобедренный

Рис. 6

(равны углы при основании). Значит: (у параллелограмма противоположные стороны равны).

Доказано.

2. Дано: – трапеция; .

Доказать: .

Доказательство:

Выполним ещё одно стандартное дополнительное построение при решении задач с трапецией: проведём через вершину прямую параллельно диагонали (см. Рис. 7).

Рис. 7

– параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).

(соответственные углы при параллельных прямых). Кроме того, – равнобедренный ( – по условию; – по свойству параллелограмма). А значит: .

Доказано.

4. Примеры задач

Рассмотрим несколько примеров решения задач с трапецией.

Пример 1.

Дано: – трапеция; .

Найти:

Решение:

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна – свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых. Из этого факта можно получить два равенства:

Ответ: .

Пример 2.

Дано: – трапеция; . .

Найти:

Решение:

Рис. 8

Проведём высоту . Получаем четырёхугольник , в котором противоположные стороны попарно параллельны, а два углы равны по . Значит, – параллелограмм, а точнее, прямоугольник.

Из этого следует, что . Откуда: .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём один из острых углов, по условию, равен . Значит, второй равен , то есть: . Воспользуемся свойством катета, лежащего против угла : он в два раза меньше гипотенузы.