9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.

Комментарии преподавателя

 Определение площади круга

Кру­гом с цен­тром в точке , ра­ди­у­са на­зы­ва­ет­ся мно­же­ство всех точек плос­ко­сти, рас­по­ло­жен­ных от точки  не более чем на рас­сто­я­ние .

Вот круг (рис. 1):

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к опре­де­ле­нию по­ня­тия «круг»

Точка  при­над­ле­жит кругу (на­хо­дит­ся внут­ри круга):

.

Точка при­над­ле­жит кругу, на­хо­дит­ся на гра­ни­це круга:

.

Точка А вне круга:

.

Ука­жем на стан­дарт­ную ошиб­ку, из этого опре­де­ле­ния убе­рем слово «всех» и по­лу­чим со­вер­шен­но дру­гую фи­гу­ру (рис. 2):

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к оши­боч­но­му опре­де­ле­нию по­ня­тия «круг»

На рис. 2 изоб­ра­же­но мно­же­ство точек, ко­то­рые рас­по­ло­же­ны нуж­ным об­ра­зом от точки . Точка  рас­по­ло­же­на от точки  на рас­сто­я­ние .

Таким об­ра­зом, точ­ность фор­му­ли­ро­вок важна, но важна и точ­ность по­ня­тий.

Пе­рей­дем к по­ня­тию пло­ща­ди круга.

Мы знаем, что такое пло­щадь пря­мо­ли­ней­ных фигур, тре­уголь­ни­ков, мно­го­уголь­ни­ков и т. д., – это ре­зуль­тат срав­не­ния с эта­ло­ном, на­при­мер с квад­ра­том раз­ме­ра­ми 1 см на 1 см.

За­ме­ним круг ка­кой-ни­будь фи­гу­рой, на­при­мер впи­сан­ным пра­виль­ным n-уголь­ни­ком.

Пусть пло­щадь круга будет равна пло­ща­ди n-уголь­ни­ка

При  мы уви­дим, что мно­го­уголь­ник почти пол­но­стью за­пол­ня­ет весь круг, су­ще­ству­ет пре­дел пло­ща­ди n-уголь­ни­ка. Этот пре­дел мы и при­мем за пло­щадь круга (). – пло­щадь впи­сан­но­го -уголь­ни­ка.

При любом фик­си­ро­ван­ном, даже очень боль­шом  весь мно­го­уголь­ник не за­ни­ма­ет весь круг (рис. 3).

Рис. 3. -уголь­ник, впи­сан­ный в круг

 – это часть мно­го­уголь­ни­ка.

 – кри­во­ли­ней­ный тре­уголь­ник, это часть круга, они не равны друг другу.

 – сто­ро­на n-уголь­ни­ка

В пре­де­ле тре­уголь­ник  сов­ме­ща­ет­ся с кри­во­ли­ней­ным тре­уголь­ни­ком .

Поды­то­жим наше на­блю­де­ние.

Рис. 4. Срав­не­ние пло­ща­ди круга и пло­ща­ди мно­го­уголь­ни­ка

 – пло­щадь круга.

Мно­го­уголь­ник стре­мит­ся за­пол­нить весь круг, его пло­щадь воз­рас­та­ет, и по­сколь­ку сам мно­го­уголь­ник огра­ни­чен опи­сан­ной окруж­но­стью, то и его пло­щадь огра­ни­че­на пло­ща­дью этой окруж­но­сти (рис. 5).

Рис. 5. При  мно­го­уголь­ник не за­ни­ма­ет весь круг

 Задача 1

Дано:

Ра­ди­ус круга.

Найти: пло­щадь круга .

Ре­ше­ние

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Впи­сы­ва­ем в дан­ный круг пра­виль­ный -уголь­ник,  – его пло­щадь.

Про­во­дим окруж­ность с цен­тром в точке  и ра­ди­у­сом . Пусть –пло­щадь этого круга, круг впи­сан в мно­го­уголь­ник, зна­чит, его пло­щадь мень­ше, чем пло­щадь этого мно­го­уголь­ни­ка:

В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ем оцен­ку:

Тре­уголь­ник , вы­ра­зим катет :

От­сю­да сле­ду­ет, что при  окруж­ность с цен­тром в точке  и ра­ди­у­сом , т. е. впи­сан­ная в мно­го­уголь­ник окруж­ность, стре­мит­ся к окруж­но­сти с цен­тром в точке  и ра­ди­у­сом .

Зна­чит:

Вме­сто  пишем:

Ответ: .

Вывод

На дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие пло­ща­ди круга, при по­мо­щи впи­сан­но­го в круг -уголь­ни­ка до­ка­за­ли фор­му­лу для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди круга, ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи с ис­поль­зо­ва­ни­ем этой фор­му­лы.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/ploschad-kruga

http://www.youtube.com/watch?v=5rME2wGg2Cc

https://www.youtube.com/watch?v=AY2t-q6Eif8

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/02/18/prezentaciya_17.pptx

http://fs1261.gavitex.com/get/2412189021/ploshchad-kruga.rar

http://www.youtube.com/watch?v=J8jhp17hCqg

http://www.uchportal.ru/_ld/373/37331_okr_kr.rar

Файлы