9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.

9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.

Комментарии преподавателя

По­стро­е­ние пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков

 

 1. Введение

По тра­ди­ции, на­пом­ним здесь ос­нов­ное опре­де­ле­ние: вы­пук­лый мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ным, если все его сто­ро­ны равны и все его углы равны (Рис. 1.) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

В этот мно­го­уголь­ник все­гда можно впи­сать окруж­ность и около него все­гда можно опи­сать окруж­ность. Цен­тры обеих окруж­но­стей сов­па­да­ют (точка О на Рис. 1). Также на ри­сун­ке при­ве­де­ны ра­ди­у­сы опи­сан­ной (R ) и впи­сан­ной (r) окруж­но­стей.

В ходе преды­ду­щих уро­ков мы вы­яс­ни­ли, что ба­зо­вую роль для опи­са­ния свойств мно­го­уголь­ни­ков иг­ра­ют бис­сек­три­сы его углов и се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к его сто­ро­нам. Имен­но на уме­нии стро­ить бис­сек­три­сы углов и се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры от­рез­ков и ос­но­вы­ва­ет­ся ме­то­ди­ка по­стро­е­ния пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков. Вкрат­це на­пом­ним, как по­стро­ить се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр от­рез­ка. 

Дан от­ре­зок АВ (Рис. 2). Необ­хо­ди­мо по­стро­ить его се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

1. Про­ве­дем окруж­ность с цен­тром в точке А про­из­воль­но­го ра­ди­у­са R (на рис 2. изоб­ра­же­ны толь­ко фраг­мен­ты этой окруж­но­сти);

2. Ана­ло­гич­но про­ве­дем окруж­ность с цен­тром в точке В того же ра­ди­у­са (Рис. 2);

3. Точки  M и N пе­ре­се­че­ния по­стро­ен­ных окруж­но­стей со­еди­ня­ем от­рез­ком;

4. Этот от­ре­зок MN и будет се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром от­рез­ка АВ. До­ка­жем это утвер­жде­ние. Тре­уголь­ни­ки MNB и MNA равны по трем сто­ро­нам, от­ку­да сле­ду­ет ра­вен­ство углов при вер­шине М. Тре­уголь­ни­ки АNB и MВA также равны по трем сто­ро­нам, кроме того, все ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки – рав­но­бед­рен­ные. МН – бис­сек­три­са ∆MВA, а сле­до­ва­тель­но, она же яв­ля­ет­ся и вы­со­той,  и ме­ди­а­ной дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния про­во­дят­ся и для от­рез­ка NH. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что  MN ^ АВ и делит его по­по­лам. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Уме­ние стро­ить се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр от­рез­ка поз­во­ля­ет ре­шать мно­гие за­да­чи. Вот при­мер одной из них: по­стро­ить квад­рат, если дана его диа­го­наль d (Рис. 3.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

По­стро­е­ние:

1. На про­из­воль­ной пря­мой от­кла­ды­ва­ем от­ре­зок АВ, рав­ный d.

2. По ука­зан­но­му выше ал­го­рит­му стро­им для от­рез­ка АВ се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр р (Рис. 3).

3. На­хо­дим точку М пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра с от­рез­ком. Из этой точки на пря­мой р от­кла­ды­ва­ем от­рез­ки MC = MD = МА.

4. Со­еди­ня­ем точки А, В, С, D от­рез­ка­ми, как по­ка­за­но на Рис. 3.

5. В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ем квад­рат с диа­го­на­ля­ми АВ и СD.

За­да­ча ре­ше­на.

На­пом­ним и еще одно важ­ное по­стро­е­ние – по­стро­е­ние бис­сек­три­сы угла.

Пусть дан угол ÐО (Рис. 4). Необ­хо­ди­мо по­стро­ить его бис­сек­три­су.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

По­стро­е­ние:

1. Про­во­дим окруж­ность с цен­тром в точке О неко­то­ро­го ра­ди­у­са R. На Рис. 4 эта окруж­ность по­ка­за­на фраг­мен­тар­но.

2. На­хо­дим точки А и В пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ÐО.

3. Стро­им окруж­ность с цен­тром в точке А неко­то­ро­го ра­ди­у­са (Рис. 4).

4. Ана­ло­гич­но стро­им окруж­ность с цен­тром в точке В и того же ра­ди­у­са .

5. На­хо­дим точку L пе­ре­се­че­ния этих окруж­но­стей .

6. Со­еди­ня­ем точки L  и О  от­рез­ком.

7. По­лу­чен­ный от­ре­зок LО – бис­сек­три­са угла (это утвер­жде­ние легко до­ка­зы­ва­ет­ся при учете ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков ОLА и ОLВ).

По­стро­е­ние за­кон­че­но.

Важ­ней­шим из пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

За­да­ча: по­стро­ить пра­виль­ный тре­уголь­ник АВС, сто­ро­на ко­то­ро­го равна а.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

По­стро­е­ние (Рис. 5):

1. На про­из­воль­ной пря­мой вы­би­ра­ем точку А и при по­мо­щи ли­ней­ки от­кла­ды­ва­ем на этой пря­мой от­ре­зок АС = а.

2. Стро­им две окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са а – с цен­тром в точке А и с цен­тром в точке С (на Рис. 5 фраг­мен­ты окруж­но­стей по­ка­за­ны пунк­ти­ром). Для этого ножки цир­ку­ля с по­мо­щью ли­ней­ки раз­во­дим на нуж­ное рас­сто­я­ние.

3. На­хо­дим точку В  пе­ре­се­че­ния этих окруж­но­стей и со­еди­ня­ем ее с точ­ка­ми А и С.

4. По­лу­чи­ли ис­ко­мый пра­виль­ный тре­уголь­ник АВС. За­да­ча ре­ше­на.

Рас­смот­рим ал­го­ритм по­стро­е­ния пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка.

За­да­ча: по­стро­ить пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник со сто­ро­ной а6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.

По­стро­е­ние (Рис. 6):

1. Для на­ча­ла вспом­ним до­ка­зан­ное на преды­ду­щих уро­ках свой­ство ше­сти­уголь­ни­ка: длина его сто­ро­ны равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти: .

2. По­стро­им окруж­ность с цен­тром в про­из­воль­ной точке О и ра­ди­у­сом .

Угол между нож­ка­ми цир­ку­ля не ме­ня­ем.

3. По­ме­стив одну ножку цир­ку­ля в про­из­воль­ную точки А1 на окруж­но­сти, при по­мо­щи вто­рой ножки от­ме­тим на той же окруж­но­сти точку А2 и со­еди­ним ее с точ­кой А1. По­лу­чим первую сто­ро­ну ше­сти­уголь­ни­ка.

4. По­вто­рив те же дей­ствия еще 4 раза, по­лу­чим осталь­ные вер­ши­ны  ис­ко­мой фи­гу­ры.

5. В ре­зуль­та­те по­лу­чим A1 … А6 – пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник с цен­тром в точке О.

За­да­ча ре­ше­на.

Сле­ду­ю­щая за­да­ча де­мон­стри­ру­ет важ­ный прием, необ­хо­ди­мый при по­стро­е­нии пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков.

Удво­е­ние числа сто­рон пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

За­да­ча.

Дан пра­виль­ный n-уголь­ник А1 … Аn (Рис. 7). По­стро­ить пра­виль­ный 2n-уголь­ник А1 В1 А2 В2 … АnВn, т. е. пра­виль­ный мно­го­уголь­ник с чис­лом сто­рон вдвое боль­шим, чем у ис­ход­но­го.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.

По­стро­е­ние:

1. Вос­ста­но­вим се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к двум со­сед­ним сто­ро­нам ис­ход­но­го мно­го­уголь­ни­ка и най­дем точку О их пе­ре­се­че­ния (по­ка­за­ны пунк­ти­ром на Рис. 7).

2. Про­ве­дем окруж­ность с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом, рав­ным ОА1. Дан­ная окруж­ность прой­дет через все вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка, т. к. яв­ля­ет­ся опи­сан­ной около него.

3. При по­мо­щи се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров к сто­ро­нам мно­го­уголь­ни­ка, опу­щен­ным из   точки О, раз­де­лим все его сто­ро­ны и все дуги окруж­но­сти, за­клю­чен­ные между его со­сед­ни­ми вер­ши­на­ми, по­по­лам. Для этого до­ста­точ­но про­сто опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры из цен­тра окруж­но­сти на сто­ро­ны и про­длить их до пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью.

4. Точки В1, В2, … Вn пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров с окруж­но­стью со­еди­нить с вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка А1 …Аn  от­рез­ка­ми, как по­ка­за­но на Рис. 7.

5. По­лу­чен­ная фи­гу­ра и будет ис­ко­мым пра­виль­ным мно­го­уголь­ни­ком, число сто­рон ко­то­ро­го вдвое боль­ше числа сто­рон ис­ход­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

За­да­ча ре­ше­на.

На дан­ном уроке было рас­смот­ре­но по­стро­е­ние пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка при по­мо­щи цир­ку­ля и ли­ней­ки. Важно за­ме­тить, что не все пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки могут быть по­стро­е­ны таким об­ра­зом.

До­ка­за­но, что так нель­зя по­стро­ить, на­при­мер, пра­виль­ный 7-уголь­ник, а вот пра­виль­ный 17-уголь­ник можно по­стро­ить этим спо­со­бом.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/postroenie-pravilnyh-mnogougolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=W978AViNBGM

http://www.youtube.com/watch?v=gaPccVKMOl8

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2015/09/15/algoritmy-postroeniya-pravilnyh-mnogougolnikov

http://www.всёдляшкол.рф/SREDN_SKOOL/MATEM/N109/images/geom_9_10.jpg

http://v.5klass.net/zip/2ca42a07f0dbffe47b645bf8cc241431.zip

 

Файлы