9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Правильный многоугольник.

9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Правильный многоугольник.

В правильный шестиугольник вписана окружность радиуса r. Найдите площадь шестиугольника.

Комментарии преподавателя

Окруж­ность, впи­сан­ная в пра­виль­ный мно­го­уголь­ник

 

 1.Введение

На­пом­ним опре­де­ле­ние: пра­виль­ным мно­го­уголь­ни­ком на­зы­ва­ет­ся такой вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны и все углы равны.

На Рис. 1 при­ве­ден фраг­мент пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка А1 … Аn.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Все сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка равны между собой:

an = A1A2 = A2A3 = … = An-1An = AnA1.

Все углы фи­гу­ры также равны между собой, при­чем .

Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся каж­дой сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка, по­это­му це­ле­со­об­раз­но на­пом­нить, что на­зы­ва­ет­ся ка­са­ни­ем пря­мой и окруж­но­сти.

Опре­де­ле­ние: пря­мая, име­ю­щая толь­ко одну общую точку с окруж­но­стью, на­зы­ва­ет­ся ка­са­тель­ной к этой окруж­но­сти, а их общая точка на­зы­ва­ет­ся точ­кой ка­са­ния пря­мой и окруж­но­сти.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

На Рис. 2 пря­мая m – ка­са­тель­ная к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Точка А – точка ка­са­ния.

Един­ствен­ность точки ка­са­ния до­ка­зы­ва­ет­ся тео­ре­мой, утвер­жда­ю­щей, что m – ка­са­тель­ная к за­дан­ной окруж­но­сти тогда и толь­ко тогда, когда ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку А, пер­пен­ди­ку­ля­рен этой пря­мой.

Тео­рия впи­сан­ных окруж­но­стей ба­зи­ру­ет­ся на фун­да­мен­таль­ном свой­стве бис­сек­три­сы угла.

Бис­сек­три­са угла есть гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от сто­рон угла.

На Рис. 3 при­ве­ден ÐА и его бис­сек­три­са – луч АО (обо­зна­че­на на Рис. 3 как l). Если точка О при­над­ле­жит бис­сек­три­се, то она рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла, т. е. ОВ = ОС (пер­пен­ди­ку­ля­ры, опу­щен­ные из точки О на сто­ро­ны угла есть рас­сто­я­ния от точки до сто­рон угла).

Об­рат­ное утвер­жде­ние: если точка О рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла, то она лежит на бис­сек­три­се. До­ка­зы­ва­ет­ся это утвер­жде­ние очень про­сто, если при­нять во вни­ма­ние ра­вен­ство пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков АОВ и АОС: бис­сек­три­са у них общая и мень­шие ка­те­ты равны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

Еще одно след­ствие ра­вен­ства ука­зан­ных тре­уголь­ни­ков: от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки к окруж­но­сти, равны между собой (АВ = АС).

Те­перь дадим опре­де­ле­ние впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти и при­ве­дем при­ме­ры.

Окруж­ность на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник, если все сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка ка­са­ют­ся этой окруж­но­сти.

Про­ил­лю­стри­ру­ем это опре­де­ле­ние на при­ме­ре пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка АВС (Рис. 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

Осо­бен­но­стью дан­но­го слу­чая яв­ля­ет­ся тот факт, что се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры, ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы и вы­со­ты тре­уголь­ни­ка лежат на одних и тех же пря­мых, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке О. Эта точка яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти. Точка О рав­но­уда­ле­на от сто­рон лю­бо­го из углов тре­уголь­ни­ка, т. к. од­но­вре­мен­но при­над­ле­жит любой из ука­зан­ных бис­сек­трис, т. е.

ОА1 = ОВ1 = ОС1 = r.

Кроме того, ОА1^ ВС, ОВ1^ ВС, ОС1^ ВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

Сле­ду­ю­щую ил­лю­стра­цию про­ве­дем на при­ме­ре окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный че­ты­рех­уголь­ник, т. е. в квад­рат АВСD.  АС и ВD – диа­го­на­ли квад­ра­та, яв­ля­ю­щи­е­ся од­но­вре­мен­но бис­сек­три­са­ми его углов. Точка О их пе­ре­се­че­ния, по свой­ствам бис­сек­трис, рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон квад­ра­та. Если из точки О опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры на сто­ро­ны квад­ра­та, то по­лу­чен­ные от­рез­ки (OK, OL, OM, ON) будут равны между собой и равны ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти (см. Рис. 5),

OK ^ AD, OL ^ AB, OM ^ BC, ON ^ CD.

Сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние огра­ни­чи­ва­ет для нас мно­же­ство мно­го­уголь­ни­ков, в ко­то­рые можно впи­сать окруж­ность.

В вы­пук­лый мно­го­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, если бис­сек­три­сы всех его углов имеют общую точку.

Рас­смот­рим Рис. 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.

У при­ве­ден­но­го пя­ти­уголь­ни­ка бис­сек­три­сы всех углов пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Сле­до­ва­тель­но, эта точка рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон пя­ти­уголь­ни­ка, яв­ля­ясь цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти. При этом

OH1 = OH2 = … = OH5 = r.

OH1^ A1A2, OH2^ A2A3, … OH5^ A4A5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.

Пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков.

Сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние ка­са­ет­ся свойств бис­сек­трис углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

Бис­сек­три­сы со­сед­них углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся.

Это утвер­жде­ние уже было до­ка­за­но нами ранее, но здесь мы крат­ко вос­ста­но­вим це­поч­ку рас­суж­де­ний, ис­поль­зу­е­мую при этом до­ка­за­тель­стве.

Рас­смот­рим фраг­мент пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­ный на Рис. 7.

Пред­по­ло­жим, что бис­сек­три­сы l1 и l2 па­рал­лель­ны. Тогда по свой­ствам па­рал­лель­ных пря­мых, сумма внут­рен­них од­но­сто­рон­них улов равна 180°, то есть Þ α = 180° (все обо­зна­че­ния по­ка­за­ны на ри­сун­ках). По­след­нее ра­вен­ство го­во­рит о том, что смеж­ные сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка долж­ны ле­жать на одной пря­мой, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Зна­чит, . От­сю­да сле­ду­ет, что если со­еди­нить точку О с осталь­ны­ми вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка, то по­лу­чен­ные от­рез­ки также будут бис­сек­три­са­ми со­от­вет­ству­ю­щих углов (до­ка­зать это утвер­жде­ние для сле­ду­ю­щей бли­жай­шей вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка можно, опи­ра­ясь на ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков, на­при­мер ∆ОA2A1 и ∆ОA2A3, по двум сто­ро­нам и углу между ними).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7а.

Еще раз вер­нем­ся к свой­ствам точки О – точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис со­сед­них углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

Так как в точке О бис­сек­три­сы со­сед­них углов пе­ре­се­ка­ют­ся по­пар­но, то можно утвер­ждать, что все бис­сек­три­сы мно­го­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в этой точке, т. е. .

Ос­нов­ная тео­ре­ма урока:

В любой пра­виль­ный мно­го­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, и при­том толь­ко одну. На Рис. 8 дан фраг­мент пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.

До­ка­за­тель­ство.

1. Как было по­ка­за­но выше, су­ще­ству­ет точка О – точка пе­ре­се­че­ния всех бис­сек­трис дан­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

2. Эта точка рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон мно­го­уголь­ни­ка. Как мы пом­ним, рас­сто­я­ние от точки до сто­ро­ны – это длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из дан­ной точки на дан­ную сто­ро­ну (пер­пен­ди­ку­ля­ры на Рис. 8 обо­зна­че­ны ОН1, ОН2, … ОНn). Если по­стро­ить окруж­ность ра­ди­у­са ОН1 = ОН2 =  … = ОНn = r с цен­тром в точке О, то все сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка будут ка­сать­ся этой окруж­но­сти (по свой­ствам ка­са­тель­ной к окруж­но­сти). Сле­до­ва­тель­но, в дан­ный мно­го­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

3. По­сколь­ку точка О – един­ствен­ная точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, рас­сто­я­ние от этой точки до любой из сто­рон также един­ствен­но, то и впи­сан­ная в дан­ный мно­го­уголь­ник окруж­ность может быть толь­ко одна.

4. Можно при­ве­сти и более по­дроб­ное до­ка­за­тель­ство пунк­та 3, а имен­но: пусть су­ще­ству­ет и дру­гая окруж­ность, впи­сан­ная в дан­ный мно­го­уголь­ник, центр ее будет рас­по­ла­гать­ся в неко­то­рой точке О1. Тогда этот центр будет рав­но­уда­лен от всех сто­рон окруж­но­сти, то есть ле­жать на пе­ре­се­че­нии бис­сек­трис, т. е. будет сов­па­дать с точ­кой О. Раз цен­тры окруж­но­стей (а вме­сте с ними и ра­ди­у­сы) сов­па­да­ют, то и сами окруж­но­сти сов­па­дут.

Рас­смот­рим несколь­ко след­ствий из до­ка­зан­ной тео­ре­мы.

Окруж­ность, впи­сан­ная в пра­виль­ный мно­го­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­рон мно­го­уголь­ни­ка в их се­ре­ди­нах.

До­ка­за­тель­ство про­ве­дем с по­мо­щью Рис. 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9.

Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти – ОН1. Тре­уголь­ник ∆A1A2О  – рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку его бо­ко­вые сто­ро­ны есть бис­сек­три­сы со­сед­них углов мно­го­уголь­ни­ка, а зна­чит, углы ÐA1 и ÐA2 при ос­но­ва­нии дан­но­го тре­уголь­ни­ка равны как по­ло­ви­ны углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка. Далее ОН1^ А1 А2, т. е. яв­ля­ет­ся вы­со­той дан­но­го тре­уголь­ни­ка, а по свой­ствам рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка – и его ме­ди­а­ной, опу­щен­ной на ос­но­ва­ние. Сле­до­ва­тель­но, Н1 – се­ре­ди­на сто­ро­ны А1 А2.

Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, сов­па­да­ет с цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в него. Эта точка на­зы­ва­ет­ся цен­тром пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

Итак, в дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли окруж­ность, впи­сан­ную в пра­виль­ный мно­го­уголь­ник, до­ка­за­ли ее су­ще­ство­ва­ние и един­ствен­ность и вы­ве­ли след­ствия из этого до­ка­за­тель­ства.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyy-mnogougolnik

http://www.youtube.com/watch?v=5R3PXKzsgmU

http://www.youtube.com/watch?v=Gb6-62Y-XZE

http://www.youtube.com/watch?v=ttLqGlrzYQY

 http://egeurok.ru/load/1149-prezentaciya-po-matematike-9-klass-vpisannye-i-opisannye-mnogougolniki.html

http://4book.org/uchebniki-rossiya/9-klass/58-geometriya-7-9-klassy-atanasyan-l-s-i-dr

Файлы