9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов ...

Комментарии преподавателя

 1. Тема урока, введение

Тема урока: «Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров в ко­ор­ди­на­тах. Свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния». На этом уроке мы вы­ве­дем фор­му­лу вы­чис­ле­ния ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния через ко­ор­ди­на­ты век­то­ров, рас­смот­рим свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния и решим за­да­чу на ис­поль­зо­ва­ние свойств ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров.

 2. Теорема о скалярном произведении векторов в координатах

Сфор­му­ли­ру­ем и до­ка­жем цен­траль­ную тео­ре­му урока.

Тео­ре­ма. Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров  и  вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

До­ка­за­тель­ство.

1. При  или  тео­ре­ма оче­вид­на.

2. Пусть  и  – нену­ле­вые век­то­ры. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Пе­рей­дем в этой фор­му­ле к ко­ор­ди­на­там.

Уточ­ним, что тео­ре­ма до­ка­за­на для слу­чая некол­ли­не­ар­ных век­то­ров, в до­ка­за­тель­стве был ис­поль­зо­ван тре­уголь­ник, тео­ре­ма ко­си­ну­сов, по­это­му слу­чай кол­ли­не­ар­ных век­то­ров тоже рас­смот­рим, при этом учтем, что угол между кол­ли­не­ар­ны­ми век­то­ра­ми может быть равен 180° или 0°.

3. Пусть 

Под­го­ним это ра­вен­ство под фор­му­лу, по­лу­чен­ную при до­ка­за­тель­стве тео­ре­мы.

Фор­му­ла та же самая, если за­пи­сать ее в ко­ор­ди­на­тах, то по­лу­чим

4. Ана­ло­гич­но рас­смот­рим слу­чай  

Вывод:  для всех век­то­ров   и .

 3. Следствия из теоремы

Сфор­му­ли­ру­ем след­ствия из до­ка­зан­ной тео­ре­мы.

След­ствие 1. Нену­ле­вые век­то­ры  и  пер­пен­ди­ку­ляр­ны тогда и толь­ко тогда, когда  .

Дей­стви­тель­но,  .

След­ствие 2. Ко­си­нус угла между нену­ле­вы­ми век­то­ра­ми  и  вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой:

Дей­стви­тель­но, 

 4. Свойства скалярного произведения векторов

Рас­смот­рим свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров.

Для любых век­то­ров  и лю­бо­го числа k спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния:

1. , при­чем  при  .

До­ка­за­тель­ство.

Но  при  .

2.  (пе­ре­ме­сти­тель­ный закон).

До­ка­за­тель­ство (из опре­де­ле­ния).

3.  (рас­пре­де­ли­тель­ный закон).

До­ка­за­тель­ство.

Для до­ка­за­тель­ства ис­поль­зу­ем метод ко­ор­ди­нат.

 , тогда

.

 

4.   (со­че­та­тель­ный закон).

До­ка­за­тель­ство.

, зна­чит,

За­ме­ча­ние. Рас­пре­де­ли­тель­ный закон спра­вед­лив и в слу­чае несколь­ких сла­га­е­мых, на­при­мер,

.

 5. Задача на использование свойств скалярного произведения векторов

За­да­ча. Вы­чис­лить ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров  и  , если  и  .

Ре­ше­ние.

По свой­ствам ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния

Ответ: 13.

 6. Заключение

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу вы­чис­ле­ния ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров через ко­ор­ди­на­ты век­то­ров, до­ка­за­ли свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния и ре­ши­ли за­да­чу на вы­чис­ле­ние ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем свойств ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/skalyarnoe-proizvedenie-v-koordinatah-svoystvo-skalyarnogo-proizvedeniya

http://www.youtube.com/watch?v=rmR1nDKeocs

http://festival.1september.ru/articles/520855/pril1.ppt

http://4book.org/uchebniki-rossiya/9-klass/58-geometriya-7-9-klassy-atanasyan-l-s-i-dr

Файлы