9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
Комментарии преподавателя
1. Тема урока, введение
Тема урока: «Скалярное произведение векторов». На этом уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов и решим задачи на вычисление скалярного произведения.
2. Напоминание основных сведений о векторах
Напомним кратко основные сведения, которые мы знаем о векторах.
1. Определение. Вектор – это направленный отрезок, обозначение 
2. Операции с векторами.
а) Сложение векторов.
Правило параллелограмма.
Правило треугольника.
б) Умножение вектора на число.
3. Угол между векторами.
4. Скалярное произведение векторов. 
Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.
Заметим, что 
– это проекция вектора 
на направление вектора 
. Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.
3. Анализ формулы скалярного произведения векторов
Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения векторов.
1. Перпендикулярные векторы.
Если 
, то 
и 
.
Сила в направлении 
не совершает никакой работы, скалярное произведение 
Обратно: если 
, то в силу равенства 
.
Получаем следующий важный вывод: Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
2. Коллинеарные векторы.
Рассмотрим коллинеарные векторы: они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.
а) Сонаправленные векторы.
, поэтому 
Таким образом, 
б) Противоположно направленные векторы.
, поэтому 
Таким образом, 
3. Равные векторы. Рассмотрим случай, когда 
Определение: Скалярное произведение 
называется скалярным квадратом вектора и обозначается 
, 
. Свойство: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, 
.
4. Решение задач на вычисление скалярного произведения векторов
Следует научиться вычислять скалярное произведение векторов не только в частных, но и в общих случаях. Рассмотрим следующую задачу.
Задача. Вычислить скалярное произведение векторов и , если 
, угол между ними равен:
а) 
б) 
в) 
а) Дано: 
Найти: 
Решение: 
Ответ: 
б) Дано:
Найти: Решение: 
или 
Ответ: 0.
в) Дано:
Найти:
Решение: 
Ответ: 
5. Вычисление скалярного произведения векторов в геометрических задачах
Векторы часто присутствуют и в различных геометрических фигурах. Рассмотрим следующую задачу.
Задача. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота BD. Вычислить скалярное произведение векторов:
а) 
б) 
в) 
г) 
Решение:
а) 
Ответ: 
б) Для определения угла между векторами отложим вектор 
от точки 
. Ответ: 
.
в) 
Ответ: 0.
г) 
Ответ: 
6. Вычисление скалярного произведения векторов в физической задаче
Задача. К одной и той же точке приложены две силы 
и 
, действующие под углом 
друг к другу, причем 
. Найти величину равнодействующей силы 
.
Дано: 
Найти: 
.
Решение: 
Ответ:
7. Заключение
Итак, мы рассмотрели разные задачи на вычисление скалярного произведения векторов. На следующем уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов в координатах.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov
http://www.youtube.com/watch?v=6KWFM5472mI
http://www.youtube.com/watch?v=uIhSbZ4SMyo
http://www.youtube.com/watch?v=DUjXi_BYS-I
http://www.mathprofi.ru/skaljarnoe_proizvedenie_vektorov.html
http://festival.1september.ru/articles/605821/presentation/pril.ppt
http://v.900igr.net/zip/641484a2f60ba5cae8a3913a0d08fac4.zip