9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Комментарии преподавателя

 Задача 1, определение высоты дерева с помощью дополнительного предмета

Рас­смот­рим за­да­чу, ко­то­рая поз­во­лит нам по­нять, от­ку­да по­яви­лась необ­хо­ди­мость таких тер­ми­нов, как синус, ко­си­нус, тан­генс, ко­тан­генс угла.

За­да­ча 1

Найти вы­со­ту де­ре­ва, не за­ле­зая на него, и найти рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля до вер­ши­ны де­ре­ва (рис. 1).

                                                          

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На­блю­да­тель может из­ме­рить рас­сто­я­ние до де­ре­ва (), из­ме­рить угол () и, не зная по­ня­тия си­ну­са, ко­си­ну­са, тан­ген­са, может по­ста­вить ис­кус­ствен­ное де­ре­во, вы­со­та ко­то­ро­го из­вест­на. То есть имеем 2 по­доб­ных тре­уголь­ни­ка  и  (рис. 2).

Дано: (рис. 2)

Найти: 

Ре­ше­ние:

Так как  тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ные, то:

1.             

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

От­но­ше­ние  за­ви­сит толь­ко от угла, его на­зва­ли тан­ген­сом угла.

 

То есть ве­ли­чи­ну x можно найти с по­мо­щью по­до­бия и с по­мо­щью три­го­но­мет­рии. Три­го­но­мет­ри­че­ский спо­соб пред­по­чти­тель­нее, так как при из­ме­ре­нии углов и три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций точ­ность, как пра­ви­ло, выше.

2. 

 

От­но­ше­ние  на­зва­ли ко­си­ну­сом угла

 

Ответ:   

В дан­ной за­да­че мы ввели по­ня­тие тан­ген­са и ко­си­ну­са. Вве­дём также по­ня­тия си­ну­са:

, угол α – угол пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но,.

 Повторение основных тригонометрических функций прямоугольного треугольника

Те­перь для ре­ше­ния за­да­чи нам не нужен вспо­мо­га­тель­ный эле­мент , а нужен угол и его функ­ция. То есть функ­ции угла важны для из­ме­ри­тель­ных работ. По­вто­рим эти функ­ции.

Си­ну­сом остро­го угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние длины про­ти­во­ле­жа­ще­го этому углу ка­те­та к длине ги­по­те­ну­зы.

Ко­си­ну­сом остро­го угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние длины при­ле­жа­ще­го к этому углу ка­те­та к длине ги­по­те­ну­зы.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция функ­ций

      ( рис. 3)

От­сю­да сле­ду­ет, что

 

То есть катет можно найти через ги­по­те­ну­зу. Так же катет можно найти через дру­гой катет. Для этого вспом­ним опре­де­ле­ние тан­ген­са и ко­тан­ген­са угла.

Тан­ген­сом угла на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го этому углу ка­те­та к при­ле­жа­ще­му.

Ко­тан­ген­сом угла на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние при­ле­жа­ще­го к этому углу ка­те­та к про­ти­во­ле­жа­ще­му.

        (рис. 3)

 Повторение теоремы косинусов и теоремы синусов

От­сю­да сле­ду­ет, что

 

Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мы по­вто­ри­ли ос­нов­ные опре­де­ле­ния и пра­ви­ла. Вспом­ним ос­нов­ные све­де­ния, ко­то­рые ис­поль­зу­ют­ся в из­ме­ри­тель­ных ра­бо­тах, для про­из­воль­ных тре­уголь­ни­ков.

Рис. 4. Тре­уголь­ник

Тео­ре­ма си­ну­сов:

, где R – ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти (рис. 4)

Тео­ре­ма ко­си­ну­сов:

 

 

 Задача 2, определение высоты предмета

Из­ме­рить вы­со­ту де­ре­ва и рас­сто­я­ние до его вер­ши­ны, если точка С (рис. 5) недо­ступ­на.

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Мы можем из­ме­рить , угол  и угол .

Дано: , (рис. 5)

Найти: 

Ре­ше­ние:

Ре­ше­ние сле­ду­ет из про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка ABD и пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC.

Из тре­уголь­ни­ка ABD:

Угол  най­дём по тео­ре­ме о внеш­нем угле (внеш­ний угол равен сумме двух дру­гих не смеж­ных с ним углов):

 

С по­мо­щью тео­ре­мы си­ну­сов по­лу­ча­ем:

 

 

Из  пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с по­мо­щью тео­ре­мы си­ну­сов по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ:  

 Задача 3, определение расстояния до недоступной точки

Найти рас­сто­я­ние ACот пунк­та Aдо недо­ступ­но­го пунк­та (рис. 6).

                       

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние:

Вы­би­ра­ем удоб­ную точку B на мест­но­сти, за­ме­ря­ем длину AB = c. По­лу­ча­ем тре­уголь­ник ABC(рис. 7), в ко­то­ром из­вест­на сто­ро­на и два при­ле­жа­щих угла. В этом тре­уголь­ни­ке можно найти любой эле­мент.

Най­дём ACс по­мо­щью тео­ре­мы си­ну­сов:

 

Так как

,

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

то

 

Ответ:  

 Задача 4, определение высоты башни с помощью тангенса известных углов

На­блю­да­тель на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 50 м от башни, вы­со­ту ко­то­рой он хочет опре­де­лить. Ос­но­ва­ние башни он видит под углом 2° к го­ри­зон­ту, а вер­ши­ну под углом 45°. Ка­ко­ва вы­со­та башни?

           

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На ри­сун­ке 8 к за­да­че видим, что ABрост на­блю­да­те­ля, DC = x – ис­ко­мая вы­со­та башни, BH = AC = 50 (по усло­вию за­да­чи рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля до башни), .

Ре­ше­ние:

Для ре­ше­ния рас­смот­рим два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка:

1. Тре­уголь­ник CBH. В нём , катет BH = 50 м, сле­до­ва­тель­но, вто­рой катет:

 

 

2. Тре­уголь­ник BDH. В нём , сле­до­ва­тель­но, угол , по­это­му тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. DH = BH50 м. 

 

 м

Ответ: вы­со­та башни  м

 Подведение итогов урока

Вывод

На дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли из­ме­ри­тель­ные ра­бо­ты на мест­но­сти. Убе­ди­лись, что они сво­дят­ся к на­хож­де­нию эле­мен­тов тре­уголь­ни­ка.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/izmeritelnye-raboty

http://www.youtube.com/watch?v=JI3RUjSZaMM

http://nashashcola.ucoz.com/Teor_sin_i_kos/prezentacija-Teorema_sinusov_i_kosinusov.rar

http://www.bestreferat.ru/referat-308262.html

http://s3.docme.ru/store/data/000555898.ppt?key=c86102b85bf5e28588eb6ebe9d9a57ac&r=1&fn=555898.ppt&t=1451227896160&p=86400

http://x-uni.com/geometriya/9-klass/video/izmeritelnye-raboty

http://festival.1september.ru/articles/418615/

Файлы