9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние тре­уголь­ни­ков

  Здесь мы вспом­ним ос­нов­ные опор­ные факты и решим в общем виде три ти­по­вые за­да­чи на ре­ше­ние тре­уголь­ни­ков. Вна­ча­ле на­пом­ним важ­ное опре­де­ле­ние си­ну­са и ко­си­ну­са для углов aÎ[0º; 180º].

Имеем окруж­ность, ра­ди­ус 1, верх­няя ее часть – оси ко­ор­ди­нат и угол a. Угол a по­стро­ен сле­ду­ю­щим об­ра­зом, по­ло­жи­тель­ная по­лу­ось х – один луч этого угла. Вто­рой луч вы­се­ка­ет точку М на еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти. Ко­ор­ди­на­ты точки М (хм;ум) на­зва­ли: абс­цис­са хм – это , ор­ди­на­та ум – это . Итак, имеем ÐАОМ=aÞМ (хмум)= М (;).

Это для лю­бо­го угла aÎ[0º; 180º], по­то­му что тре­уголь­ник имеет любой угол в пре­де­лах(180º). Таким об­ра­зом, мы про­сто на­пом­ни­ли опре­де­ле­ние си­ну­са и ко­си­ну­са для лю­бо­го угла, ко­то­рый может быть углом тре­уголь­ни­ка. От­ме­тим важ­ную спе­ци­фи­ку: зна­че­ние ко­си­ну­са од­но­знач­но опре­де­ля­ет угол тре­уголь­ни­ка. По­яс­ним это при­ме­ра­ми, объ­яс­ним по­че­му.

Вот линия ко­си­ну­сов. Ко­си­нус может ме­нять­ся в пре­де­лах от -1 до 1.

При­мер 1

а) Пусть .

 от­ме­тил на линии ко­си­ну­сов, пер­пен­ди­ку­ляр, по­лу­чил един­ствен­ную точку М на окруж­но­сти. И по­лу­чил нуж­ный угол, этот угол ис­ко­мый. По­че­му он равен 45º? По­то­му что если это , то и здесь , ги­по­те­ну­за 1, либо по таб­ли­це, либо по этому тре­уголь­ни­ку по­лу­ча­ем, что имеем угол 45º.

Итак, если при ре­ше­нии задач, мы вдруг уви­де­ли , мы од­но­знач­но опре­де­ля­ем, что этот угол равен 45º.

Вто­рой при­мер.

б) если .

Вдруг вы­яс­ни­лось, что  и a – это угол тре­уголь­ни­ка, то мы долж­ны сразу по­лу­чить ответ, что a=135º.

По­че­му? Во-пер­вых, можно по таб­ли­це, а во-вто­рых, из чер­те­жа. Еди­нич­ная по­лу­окруж­ность  на линии ко­си­ну­сов – это абс­цис­са точки М, пер­пен­ди­ку­ляр, по­лу­ча­ем точку М. А зна­чит, ис­ко­мый угол АОМ. Ги­по­те­ну­за 1, катет в этом тре­уголь­ни­ке , зна­чит, либо этот угол 45º, а зна­чит, и этот угол 45º. (180º - 45º) = 135º, либо по таб­ли­це, раз у нас , то угол равен 135º.

Итак, спе­ци­фи­ка за­клю­ча­ет­ся в том, что зна­че­ние ко­си­ну­са од­но­знач­но опре­де­ля­ет угол тре­уголь­ни­ка. В от­ли­чие от ко­си­ну­са зна­че­ние си­ну­са, если он за­клю­чен в пре­де­лах

 опре­де­ля­ет два угла тре­уголь­ник a1 и a2 и сумма этих углов равна 180º:

a1+a2=180º

По­яс­ним ска­зан­ное на чер­те­же. Еди­нич­ная по­лу­окруж­ность, оси ко­ор­ди­нат, вот зна­че­ние си­ну­са. Синус, кста­ти, ме­ня­ет­ся от0 до 1, вот синус ≠1, пер­пен­ди­ку­ляр. По­лу­ча­ем две точки на окруж­но­сти, точку М и точку N. Толь­ко две эти точки имеют свои ор­ди­на­ты, вот это зна­че­ние, ко­то­рое равно си­ну­су a. Пер­вая точка опре­де­ля­ет один угол АОN – на­зва­ли a1. Вто­рая точка опре­де­ля­ет угол АОМ – на­зва­ли a2. Но имеем еще один угол a2 в силу сим­мет­рии, так что a1+a2=180º. Итак, зна­че­ние си­ну­са опре­де­ля­ет два угла, в сумме со­став­ля­ю­щих 180º. И это углы тре­уголь­ни­ка, и это очень важно для ре­ше­ния тре­уголь­ни­ков.

Сде­ла­ем кон­крет­ный при­мер.

, то a1=135º.

или a2=45º

Если , то мы имеем два кон­крет­ных угла. Если это , то один из углов 135º, вот этот боль­шой угол, вто­рой угол45º. Итак, еще раз: зна­че­ние ко­си­ну­са од­но­знач­но опре­де­ля­ет угол тре­уголь­ни­ка. Зна­че­ние си­ну­са не од­но­знач­но опре­де­ля­ет угол тре­уголь­ни­ка. Зна­че­ние си­ну­са, если оно не равно 1, опре­де­ля­ет два угла тре­уголь­ни­ка, сумма ко­то­рых рав­ня­ет­ся180º.

Те­перь мы знаем, что такое синус и ко­си­нус лю­бо­го, в том числе ту­по­го угла тре­уголь­ни­ка. По­это­му мы можем опре­де­лить ко­ор­ди­на­ты всех вер­шин тре­уголь­ни­ка.

Вот на ри­сун­ке ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник и ту­по­уголь­ный тре­уголь­ник. Угол g ост­рый, угол g тупой. Во-пер­вых, если мы го­во­рим о ко­ор­ди­на­тах, то надо вве­сти си­сте­му ко­ор­ди­нат. Удоб­но вве­сти ее сле­ду­ю­щим об­ра­зом: на­ча­ло сов­ме­стить с одной из вер­шин, на­при­мер, с вер­ши­ной С. А ось х пу­стить по пря­мой СВ. Итак, имеем тре­уголь­ник АВС. Стан­дарт­ные обо­зна­че­ния: вер­ши­на А, длина сто­ро­ны – а ма­лень­кая; вер­ши­на В, длина сто­ро­ны – в ма­лень­кая; вер­ши­на С, длина сто­ро­ны – с ма­лень­кая; угол при вер­шине С=g, стан­дарт­ное обо­зна­че­ние. Ко­ор­ди­на­ты этой точки С – на­ча­ло ко­ор­ди­нат С(0;0). Ко­ор­ди­на­ты этой точки В(а;0), это по­нят­но. И, на­ко­нец, ко­ор­ди­на­та точки А – это ().

Это, во-пер­вых, мы вы­во­ди­ли в свое время, а во-вто­рых, можно это по­смот­реть из тре­уголь­ни­ка пря­мо­уголь­но­го, в ко­то­ромха – катет равен: ги­по­те­ну­за умно­жить на ко­си­нус при­ле­жа­ще­го угла. Про­ти­во­ле­жа­щий катет уа есть ги­по­те­ну­за, умно­жен­ная на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла. Таким об­ра­зом, вот ко­ор­ди­на­ты всех точек: А(), В(а;0), С(0;0). По виду они не ме­ня­ют­ся, если угол g тупой.

По-преж­не­му, вы­со­та вот из этого тре­уголь­ни­ка или из этого тре­уголь­ни­ка h=. Фор­му­лы для осталь­ных вер­шин те же самые.

Итак, если мы знаем, что такое синус и ко­си­нус для угла тре­уголь­ни­ка, то мы можем найти ко­ор­ди­на­ты всех его вер­шин через синус и ко­си­нус угла. Зная ко­ор­ди­на­ты вер­шин тре­уголь­ни­ка, мы в свое время по­лу­чи­ли фор­му­лу для пло­ща­ди через синус угла. На­пом­ним ее.

От­ку­да взя­лась эта фор­му­ла? Вспом­ним, что пло­щадь, мы давно счи­та­ли по из­вест­ной фор­му­ле:  ос­но­ва­ния на вы­со­ту, ко­то­рая про­ве­де­на к этому ос­но­ва­нию . Но вы­со­та есть ор­ди­на­та точки А, а ор­ди­на­та точки А (толь­ко что мы го­во­ри­ли) – это , т.к. h=, то под­ста­ви­ли в фор­му­лу для пло­ща­ди и по­лу­чи­ли ре­зуль­тат: .

Итак, пло­щадь тре­уголь­ни­ка есть по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния двух его сто­рон, длин его сто­рон, точ­нее, на синус угла между ними. Далее с по­мо­щью этой фор­му­лы мы по­лу­чи­ли тео­ре­му си­ну­сов. На­пом­ним и ее. Тео­ре­ма си­ну­сов утвер­жда­ет: от­но­ше­ние длины сто­ро­ны к си­ну­су про­ти­во­ле­жа­ще­го угла тре­уголь­ни­ка есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная для дан­но­го тре­уголь­ни­ка, а имен­но:

.

На­пом­ним также, что вывод мгно­вен­но сле­ду­ет из фор­му­лы из пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

=

=

Важ­ным ин­стру­мен­том при ре­ше­нии тре­уголь­ни­ков яв­ля­ет­ся тео­ре­ма ко­си­ну­сов. На­пом­ним ее. Вот ∆АВС, сто­ро­на а, сто­ро­наb, сто­ро­на с. Тре­уголь­ник по­ме­щен в ко­ор­ди­нат­ную плос­кость, оси ко­ор­ди­нат ху. Ко­ор­ди­на­ты каж­дой вер­ши­ны мы сей­час умеем на­хо­дить. Вот ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны А(), это  – одна ко­ор­ди­на­та, абс­цис­са;  - вто­рая ко­ор­ди­на­та, ор­ди­на­та. Через эти ко­ор­ди­на­ты мы на­хо­дим длину АВ, и в ре­зуль­та­те по­лу­чи­ли тео­ре­му ко­си­ну­сов, ко­то­рая зву­чит сле­ду­ю­щим об­ра­зом: с2=а2+в2-2ав. На­пом­ним сло­вес­ную фор­му­ли­ров­ку: квад­рат сто­ро­ны равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

Это, как мы пом­ним, обоб­ще­ние тео­ре­мы Пи­фа­го­ра. Если бы угол g был пря­мым, то с была бы ги­по­те­ну­зой, квад­рат ги­по­те­ну­зы был бы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов. Но это для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тео­ре­ма ко­си­ну­сов для лю­бо­го тре­уголь­ни­ка. И тео­ре­ма си­ну­сов, и тео­ре­ма ко­си­ну­сов – это важ­ней­шие ин­стру­мен­ты для ре­ше­ния тре­уголь­ни­ков. На­пом­ним, что озна­ча­ет слово «ре­ше­ние тре­уголь­ни­ков». Это озна­ча­ет, что сле­ду­ет найти все сто­ро­ны, все три сто­ро­ны и все три угла тре­уголь­ни­ка. Вот одна из ти­по­вых задач.

За­да­ча

В ∆АВС даны ав, g (две сто­ро­ны и угол между ними). Даны три эле­мен­та тре­уголь­ни­ка. Найти с, a, b, т.е. осталь­ные эле­мен­ты тре­уголь­ни­ка. Про­ком­мен­ти­ру­ем еще раз усло­вия. Вот ∆АВС, сто­ро­на а, длина ее из­вест­на. Сто­ро­на в, длина ее из­вест­на. И ве­ли­чи­на угла между ними, т.е. три эле­мен­та тре­уголь­ни­ка из­вест­ны. Надо найти осталь­ные три эле­мен­та, т.е. долж­ны быть из­вест­ны три сто­ро­ны, длины этих сто­рон и ве­ли­чи­ны углов.

Ре­ше­ние:

1) с=

2) 

3) b=180º-(a+g).

Вот из­ве­стен угол g, все­гда по­лез­но на­пи­сать тео­ре­му ко­си­ну­сов для про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны.

1) На­пи­са­ли с2=а2+в2-2ав.

Для того чтобы найти с, надо взять Ö из этого вы­ра­же­ния. Таким об­ра­зом, тео­ре­ма ко­си­ну­сов мгно­вен­но поз­во­ля­ет найти про­ти­во­ле­жа­щую сто­ро­ну, про­ти­во­ле­жа­щую углу g. Нашли. Зна­чит, каким об­ра­зом найти угол a?

2) Для этого надо на­пи­сать тео­ре­му ко­си­ну­сов для про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны:

, т.е. на­пи­са­ли тео­ре­му ко­си­ну­сов для про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, по­лу­чи­ли урав­не­ние для ко­си­ну­са и нашли ко­си­нус. Нашли ко­си­нус, а по ко­си­ну­су угла на­хо­дим сам угол, при­чем мы го­во­ри­ли, что угол a в тре­уголь­ни­ке од­но­знач­но задан, если задан ко­си­нус этого угла. Итак, угол a най­ден.

3) Оста­лось найти угол b. Сумма трех углов тре­уголь­ни­ка 180º, зна­чит, угол b – это 180º минус сумма двух уже из­вест­ных нам углов a и g.

Таким об­ра­зом, пер­вая стан­дарт­ная за­да­ча ре­ше­на. На­пом­ним ее связь с при­зна­ком ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. Ведь два тре­уголь­ни­ка равны, если две сто­ро­ны со­от­вет­ству­ю­щие равны и угол между ними равен. То есть две сто­ро­ны и угол од­но­знач­но за­да­ют тре­уголь­ник. Вот они за­да­ны, и по­лу­чил­ся тре­уголь­ник. Все осталь­ные эле­мен­ты этого тре­уголь­ни­ка мы нашли с по­мо­щью тео­ре­мы ко­си­ну­сов. За­да­ча ре­ше­на.

Сле­ду­ю­щая ти­по­вая за­да­ча по ре­ше­нию тре­уголь­ни­ков.

За­да­ча. В ∆АВС из­вест­на длина сто­ро­ны а, ве­ли­чи­ны углов b и g (сто­ро­на и два при­ле­жа­щих к ней угла). Тре­бу­ет­ся ре­шить тре­уголь­ник, т.е. найти недо­ста­ю­щие эле­мен­ты, а имен­но: ве­ли­чи­ну угла a, вс – длины сто­рон. Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем тео­ре­му си­ну­сов, нам нужно найти длину в:

.

Длина одной сто­ро­ны най­де­на по тео­ре­ме си­ну­сов. Далее на­хо­дим длину тре­тьей сто­ро­ны по той же тео­ре­ме си­ну­сов: . За­да­ча ре­ше­на.

Тре­уголь­ник, как мы знаем, за­да­ет­ся тремя сто­ро­на­ми. Сле­ду­ю­щая за­да­ча опи­ра­ет­ся на этот факт.

За­да­ча. В ∆АВС даны длины трех сто­рон авс. Найти все углы a, b, g. Стан­дарт­ные обо­зна­че­ния, тре­уголь­ник по­яс­ня­ет ска­зан­ное. Сто­ро­ны из­вест­ны, надо найти углы. Ре­ше­ние: по тео­ре­ме ко­си­ну­сов пишем тео­ре­му ко­си­ну­сов для сто­ро­ны а и на­хо­дим ко­си­нус угла a

1) 

Та­ко­ва тео­ре­ма ко­си­ну­сов для угла a для сто­ро­ны а. Нашли ко­си­нус, а по ко­си­ну­су мы од­но­знач­но на­хо­дим угол a. Ана­ло­гич­но дей­ству­ем для ко­си­ну­са b.

2) 

Нашли ко­си­нус b, он од­но­знач­но за­да­ет угол b. Если мы знаем два угла тре­уголь­ни­ка a и b, то тре­тий угол на­хо­дим как раз­ность:

3) g=180º-(a+b)

За­да­ча ре­ше­на.

 Рассмотрение причины двух решений в задачах ( на решение треугольников)

Рас­смот­рим за­да­чу, в ко­то­рой за­да­ны две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и угол не между ними, в этом слу­чае число ре­ше­ний за­ви­сит от кон­крет­ных чис­ло­вых дан­ных.

Число ре­ше­ний может быть два:

пред­по­ло­жим, что . В тре­уголь­ни­ке может быть угол  или  (рис. 1)

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 Задача 1 (решение треугольника для первого случая)

Дано: тре­уголь­ник ABCa = 6, b =8,  (рис. 2)

Найти: углы , γ; сто­ро­ну с

Ре­ше­ние:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов

 

 

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

Видим, что , сле­до­ва­тель­но, угол β су­ще­ству­ет и су­ще­ству­ет два угла.

Ри­су­нок 3 ил­лю­стри­ру­ет на­ли­чие двух углов β.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

 

     

Тре­уголь­ник ABC (рис. 2) имеет опре­де­лён­ный ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти.

По тео­ре­ме си­ну­сов:

 

 

 

Рас­смот­рим два слу­чая:

1.  (рис. 4) 

Тогда угол :

 

 

Сле­до­ва­тель­но, 

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Далее ис­поль­зу­ем тео­ре­му си­ну­сов:

 

 

 

Для пер­во­го слу­чая тре­уголь­ник решён.

Ответ: β 

 Задача 1 (решение треугольника для второго случая)

 (рис. 2)

Тогда угол :

 

 

Сле­до­ва­тель­но, 

 

 

 

Ответ: 

 Геометрическая иллюстрация решения задачи 1

За­да­ча ре­ше­на, по­лу­че­ны два от­ве­та. Дадим гео­мет­ри­че­скую ин­тер­пре­та­цию от­ве­та.

1. В окруж­но­сти ра­ди­у­сом R = 6 про­ве­дём хорду a = 6, по­лу­чим две точки B и C, ко­то­рые яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми ис­ко­мо­го тре­уголь­ни­ка (рис. 5). Этот тре­уголь­ник впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O.

2. Про­ве­дём окруж­ность с цен­тром в точке C и ра­ди­у­сом b = 8.

3. Ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти – 8, он мень­ше, чем удво­ен­ный ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти. Зна­чит, су­ще­ству­ют две точки пе­ре­се­че­ния ( этих окруж­но­стей.

4. Впи­сан­ные в окруж­ность углы с вер­ши­на­ми  оди­на­ко­вые. , так как тре­уголь­ник BOC пра­виль­ный ().

5. По­лу­чи­ли два тре­уголь­ни­ка . Это и есть ис­ко­мые тре­уголь­ни­ки. В них: ,  – все за­дан­ные зна­че­ния.

6. В тре­уголь­ни­ках най­де­ны точ­ные зна­че­ния ис­ко­мых ве­ли­чин:

- тре­уголь­ник ;

- тре­уголь­ник .

            Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 Четвёртый признак  равенства треугольников и его частный случай

Чет­вёр­тый при­знак  ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков и его част­ный слу­чай

Также можно сде­лать за­ме­ча­ние: угол α = 30 явно не наи­боль­ший угол в за­дан­ном тре­уголь­ни­ке ABC, а из чет­вёр­то­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков знаем, что тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и наи­боль­ше­му углу (этот наи­боль­ший угол может на­хо­дить­ся не между двумя сто­ро­на­ми). От­сю­да част­ный слу­чай чет­вёр­то­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков: ра­вен­ство пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе (пря­мой угол наи­боль­ший, он не лежит между ка­те­том и ги­по­те­ну­зой).

[00:17:09 Раз­ветв­ле­ние: опор­ные факты из за­да­чи 1]

Из за­да­чи 1 можно вы­де­лить важ­ные опор­ные факты.

1. Тео­ре­ма о впи­сан­ном угле имеет важ­ное след­ствие:

впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к след­ствию

 (рис. 6)

Это озна­ча­ет, что из любой точки дуги  от­ре­зок BC = а виден под одним и тем же углом (α). Су­ще­ству­ют также дру­гие точки, с ко­то­рых дан­ный от­ре­зок виден под этим же углом. Это точки на дуге . Таким об­ра­зом, объ­еди­не­ние этих двух дуг (ис­клю­чая концы от­рез­ка BC) даёт гео­мет­ри­че­ское место всех точек, с ко­то­рых дан­ный от­ре­зок виден под дан­ным углом.

2. От­ре­зок BC = a и про­ти­во­ле­жа­щий угол  за­да­ют се­мей­ство тре­уголь­ни­ков (). Эти тре­уголь­ни­ки часто не по­хо­жи друг на друга, но они имеют один и тот же эле­мент – ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти .

3. Также у се­мей­ства этих тре­уголь­ни­ков есть ещё один общий эле­мент – от­ре­зок  (рис. 7), где точка  – ос­но­ва­ние высот, опу­щен­ных из вер­ши­ны B и вер­ши­ны C. Для того чтобы в этом убе­дить­ся, по­про­буй­те ре­шить са­мо­сто­я­тель­но за­да­чу:

Задан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC (рис. 7). В нём сто­ро­на BC = a,  – вы­со­ты. Найти длину от­рез­ка . (Ука­за­ние: до­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков и ).

4. Ука­жем ещё несколь­ко общих эле­мен­тов для се­мей­ства тре­уголь­ни­ков :

- AH, где H – ор­то­центр (рис. 7);

 – ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка  (рис. 8);

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 – ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка  (рис. 8);

 – ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка , где J – точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка ABC(рис. 8.1);

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

      

Рис. 8.1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дан­ные опор­ные факты важны тем, что поз­во­ля­ют на­хо­дить общие эле­мен­ты у се­мей­ства тре­уголь­ни­ков, то есть ре­шать более слож­ные за­да­чи.

 Завершение урока

Итак, мы по­вто­ри­ли ос­нов­ные опор­ные факты и ре­ши­ли три ти­по­вые за­да­чи по ре­ше­нию тре­уголь­ни­ков,  ре­ши­ли более слож­ную за­да­чу по теме «Ре­ше­ние тре­уголь­ни­ков» с ис­поль­зо­ва­ни­ем ос­нов­ных тео­рем си­ну­сов и ко­си­ну­сов и тео­ре­мы о пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov-prodolzhenie-1

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov-prodolzhenie-2

http://www.youtube.com/watch?v=KQbokFe6Dxs

http://www.youtube.com/watch?v=0qwOLTuL-8A

http://www.youtube.com/watch?v=YVw2n9Iiz24

http://www.youtube.com/watch?v=uxluor0w8Jk

http://u.5klass.net/zip/5b3c7a48c3df8abd433b4a78d72a8c96.zip

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/34-itogovyj-test-po-teme-sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/35-itogovyj-test-po-teme-sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-variant-2.html

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2

Файлы