9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

В треугольнике длины двух сторон равны 4 см и 7 см, угол между ними равен 60°. Найдите длину третьей стороны.

Комментарии преподавателя

 Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Вспом­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 

К дан­но­му вы­ра­же­нию при­ба­вим и от­ни­мем квад­рат вто­ро­го ка­те­та:

 

 

Но так как

 ,

то

 

Эту фор­му­лу мы по­лу­чи­ли для ка­те­тов в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, но ока­зы­ва­ет­ся, что ана­ло­гич­ная связь между сто­ро­ной а и ко­си­ну­сом про­ти­во­ле­жа­ще­го угла спра­вед­ли­ва и для про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка, это по­ка­жет нам тео­ре­ма ко­си­ну­сов. Она зву­чит так:

Квад­рат сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих его сто­рон минус удво­ен­ное про­из­ве­де­ние этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

Чтобы за­пи­сать фор­му­лой дан­ную тео­ре­му, при­ни­ма­ем стан­дарт­ные зна­че­ния.

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 (рис. 2)

В до­ка­за­тель­стве тео­ре­мы ис­поль­зу­ем фор­му­лу длины от­рез­ка в ко­ор­ди­на­тах. Рас­смот­рим дан­ную фор­му­лу.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

В до­ка­за­тель­стве тео­ре­мы ко­си­ну­сов BC – это сто­ро­на тре­уголь­ни­ка АВС, обо­зна­чен­ная а (рис. 4). Вво­дим удоб­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат и на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты нуж­ных нам точек. У точки В ко­ор­ди­на­ты (с;0). А ко­ор­ди­на­ты точки С – (b, при 

 – ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство.

 

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Формулировка теоремы для каждой из сторон заданного треугольника

Эта тео­ре­ма спра­вед­ли­ва для всех сто­рон тре­уголь­ни­ка (рис. 5), то есть:

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 

 

 

Таким об­ра­зом, тео­ре­ма ко­си­ну­сов обоб­ща­ет тео­ре­му Пи­фа­го­ра, то есть ис­поль­зу­ет­ся для про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка.

 Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Тео­ре­ма ко­си­ну­сов поз­во­ля­ет найти как ко­си­нус, так и угол тре­уголь­ни­ка. Най­дём ко­си­ну­сы углов:

 

 

 

Ана­ло­гич­но:

 

 

 Определение угла с помощью косинуса

Те­перь най­дём углы.

Вспом­ним, что ко­си­нус угла из про­ме­жут­ка  од­но­знач­но опре­де­ля­ет угол (в от­ли­чие от си­ну­са).

     

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

По­яс­ним это. Дана еди­нич­ная по­лу­окруж­ность (рис. 6). Если нам задан , то нам за­да­на точка на верх­ней по­лу­окруж­но­сте и задан угол α. Сле­до­ва­тель­но,  од­но­знач­но опре­де­ля­ет точку М(), и од­но­знач­но опре­де­ля­ет­ся угол .

 Рассмотрение пределов изменения 

Рас­смот­рим пре­де­лы из­ме­не­ния си­ну­са и ко­си­ну­са α, если α – угол тре­уголь­ни­ка, то есть он лежит в пре­де­лах от 0.

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Пре­дел из­ме­не­ния ко­си­ну­са (рис. 7):

 

Пре­дел из­ме­не­ния си­ну­са (рис. 7):

 

Если , то 

Если  

Если 

Тео­ре­ма ко­си­ну­сов ак­тив­но ис­поль­зу­ет­ся при ре­ше­нии задач, вот одна из них.

 Задача 1 с применением теоремы косинусов

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дано: Тре­уголь­ник АВС. , АВ = 9, ВС = 3, ,  где М- точка на ги­по­те­ну­зе  АВ (рис. 8).

Найти: СМ

Ре­ше­ние:

Так как АМ+МВ = 9, а  , то АМ = 3, МВ = 6.

Из тре­уголь­ни­ка АВС най­дём :

 

Из тре­уголь­ни­ка СМВ по тео­ре­ме ко­си­ну­сов най­дём СМ:

 

 

 

 Задача 2 с применением теоремы косинусов

Дано: тре­уголь­ник АВС, со сто­ро­на­ми – 5, 8, 10 (рис. 9).

Найти: ост­ро­уголь­ный ли тре­уголь­ник.

Ре­ше­ние:

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че       

В тре­уголь­ни­ке АВС наи­боль­шая сто­ро­на ВС. На­про­тив наи­боль­шей сто­ро­ны на­хо­дит­ся наи­боль­ший угол, то есть сле­ду­ет сна­ча­ла оце­нить его. .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

 

 

Ко­си­нус угла α мень­ше 0, сле­до­ва­тель­но,  тупой, по­это­му дан­ный тре­уголь­ник АВС не ост­ро­уголь­ный.

 

 Задача 3 на доказательство с помощью теоремы косинусов

Дано: тре­уголь­ник АВС,  (рис. 10)

До­ка­зать:тупой.

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для до­ка­за­тель­ства до­ста­точ­но на­пи­сать тео­ре­му ко­си­ну­сов для угла :

 

Так как , то , сле­до­ва­тель­но, тупой. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дан­ная за­да­ча по­ка­зы­ва­ет, что с по­мо­щью тео­ре­мы ко­си­ну­сов можно опре­де­лить тупой угол или ост­рый. Ри­сун­ки 10,11 и 12 ил­лю­стри­ру­ют это.

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Если  , то  (рис. 11)

  

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Если  , то  ост­рый (рис. 12).

 Подведение итогов урока

На дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли и до­ка­за­ли тео­ре­му ко­си­ну­сов и ре­ши­ли за­да­чи с её при­ме­не­ни­ем.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/teorema-kosinusov

http://www.youtube.com/watch?v=7oPFWz0xut0

http://www.youtube.com/watch?v=KQbokFe6Dxs

http://www.youtube.com/watch?v=lt8P351H3hY

http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/9db885d6ae55030c6f47585a04d1515c-214x300.jpg

https://otvet.imgsmail.ru/download/185002489_52789460dea4e9a722f858aa76d19ac3_800.jpg

http://pedsovet.su/_ld/34/3499_Fj5.zip

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/30-test-po-geometrii-9-klass-tema-teorema-kosinusov-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/31-test-po-geometrii-9-klass-tema-teorema-kosinusov-variant-2.html

Файлы