9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

В окружность радиуса 7√2 с центром в точке О вписан треугольник АВС, в котором угол В = 45°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АОС.

Комментарии преподавателя

 Формулировка и доказательство теоремы синусов

Сфор­му­ли­ру­ем, про­ана­ли­зи­ру­ем и до­ка­жем тео­ре­му си­ну­сов. Тео­ре­ма зву­чит так:

сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов.

За­пи­шем дан­ную тео­ре­му фор­му­лой в стан­дарт­ных для тре­уголь­ни­ка обо­зна­че­ни­ях (рис. 1).

Рис. 1. Тре­уголь­ник

Фор­му­ла для дан­ной тео­ре­мы вы­гля­дит так (рис. 2):

        

До­ка­жем дан­ную тео­ре­му с по­мо­щью фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка через синус его угла.

Из этой фор­му­лы мы по­лу­ча­ем два со­от­но­ше­ния:

1.      

 

На b со­кра­ща­ем, си­ну­сы по­ме­ща­ем в зна­ме­на­те­ли:

 

2.      

 

Из этих двух со­от­но­ше­ний по­лу­ча­ем:

 

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 Формулировка и доказательство следствия из теоремы синусов

Из тео­ре­мы си­ну­сов вы­те­ка­ет важ­ное след­ствие.

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 ,

где R – ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти (рис. 2).

Сле­до­ва­тель­но, мы по­лу­чи­ли три фор­му­лы ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти:

Но, по су­ще­ству, весь смысл след­ствия из тео­ре­мы си­ну­сов за­клю­чён в фор­му­ле:

 

Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти не за­ви­сит от угла α, β, γ. Удво­ен­ный ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен от­но­ше­нию сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка к си­ну­су про­ти­во­ле­жа­ще­го угла.

Для до­ка­за­тель­ства рас­смот­рим три слу­чая:

1. Угол  – ост­рый в тре­уголь­ни­ке АВС (рис. 3)

                                  

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Про­ве­дём диа­метр . В этом слу­чае точка А и точка  лежат в одной по­лу­плос­ко­сти от пря­мой ВС. Ис­поль­зу­ем тео­ре­му о впи­сан­ном угле и видим, что . Тре­уголь­ник        пря­мо­уголь­ный, в нём угол  равен 90, так как он опи­ра­ет­ся на диа­метр .

Для того чтобы найти катет a в тре­уголь­ни­ке , нужно ги­по­те­ну­зу В=2R (R – ра­ди­ус окруж­но­сти) умно­жить на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла.

  

Сле­до­ва­тель­но

                   

В пер­вом слу­чае тео­ре­ма до­ка­за­на.

2. Угол  – тупой в тре­уголь­ни­ке АВС (рис. 4)

Про­ве­дём диа­метр окруж­но­сти . Точки А и  по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой ВС. Че­ты­рёх­уголь­ник  впи­сан в окруж­ность, и его свой­ство та­ко­во, что сумма про­ти­во­ле­жа­щих углов равна . Сле­до­ва­тель­но, =.

Вспом­ним дан­ное свой­ство впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рёх­уголь­ни­ка (рис. 4):

=

Также мы знаем, что .

В тре­уголь­ни­ке  угол при вер­шине С равен 90, по­то­му что он опи­ра­ет­ся на диа­метр. Сле­до­ва­тель­но, катет а мы на­хо­дим таким об­ра­зом:           

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 

 

Сле­до­ва­тель­но

       

Во вто­ром слу­чае тео­ре­ма до­ка­за­на.

3. Угол  (рис. 5)

           

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

В пря­мо­уголь­ни­ке АВС угол А пря­мой, а про­ти­во­по­лож­ная сто­ро­на , где R – это ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но:

И в тре­тьем слу­чае тео­ре­ма до­ка­за­на.

 Повторение теоремы о вписанном в окружность угле

Из тео­ре­мы си­ну­сов и след­ствия из неё мы видим, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти можно найти, зная толь­ко одну сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка и синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла. Но тре­уголь­ник не за­да­ёт­ся толь­ко этими ве­ли­чи­на­ми. То есть по­лу­ча­ет­ся, что тре­уголь­ник ещё не задан, а мы уже можем найти ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти. Объ­яс­ним этот факт, по­вто­рив тео­ре­му о впи­сан­ном в окруж­ность угле и след­стви­ях из неё.

Тео­ре­ма о впи­сан­ном угле:

Впи­сан­ный в окруж­ность угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­вин­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

                                                                      

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

А=α опи­ра­ет­ся на дугу ВС (рис. 6). Дуга ВС со­дер­жит столь­ко гра­ду­сов, сколь­ко гра­ду­сов её цен­траль­ный угол . То есть тео­ре­ма утвер­жда­ет:

  

 Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

След­ствие 1 из тео­ре­мы зву­чит так:

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу, равны.

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

ВАС опи­ра­ет­ся на дугу ВС (рис. 7). По­это­му

 

Если мы возь­мём точки  и про­ве­дём от них лучи, ко­то­рые опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, то по­лу­чим:

На ри­сун­ке 7 мы видим мно­же­ство тре­уголь­ни­ков, у ко­то­рых общая одна сто­ро­на (СВ) и оди­на­ко­вый про­ти­во­ле­жа­щий угол. Тре­уголь­ни­ки яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми, их объ­еди­ня­ет то, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти у них оди­на­ко­вый.

 Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

След­ствие 2 из тео­ре­мы о впи­сан­ном угле:

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на диа­метр, – пря­мые.                   

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

ВС – диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но  (рис. 8).

 Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

След­ствие 3 из тео­ре­мы о впи­сан­ном в окруж­ность угле:

Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рёх­уголь­ни­ка равна 180.

В этом след­ствии утвер­жда­ет­ся, что

  

Угол А=α опи­ра­ет­ся на дугу DCB (рис. 9). По­это­му  (по тео­ре­ме о впи­сан­ном угле). Угол  опи­ра­ет­ся на дугу DAB. По­это­му . Но так как 2α и 2γ – это вся окруж­ность, то

 

Сле­до­ва­тель­но

          

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 

По­это­му

 

 Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

След­ствие 4 из тео­ре­мы зву­чит так:

Си­ну­сы про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го че­ты­рёх­уголь­ни­ка равны.

 (рис. 9)

Так как , то

 

Тео­ре­ма си­ну­сов и след­ствия из неё ак­тив­но ис­поль­зу­ют­ся при ре­ше­нии задач.

 

 Задача с применением теоремы синусов и следствии из неё

Дано: В тре­уголь­ни­ке АВС:  (рис.10)

Найти: 1. АС; 2. R – ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти

Ре­ше­ние.

1. Най­дём АС.

В тре­уголь­ни­ке нам из­вест­ны два угла, по­это­му на­хо­дим тре­тий, ис­хо­дя из того, что сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180:

 

Для на­хож­де­ния АС вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

 

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

АС=

АС см

2. На­хо­дим ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти.

Нам по­мо­жет след­ствие из тео­ре­мы си­ну­сов:

 

 

6 см

 Подведение итогов урока

На дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли и  до­ка­за­ли тео­ре­му си­ну­сов и след­ствие из неё, а так же ре­ши­ли за­да­чу по этой теме.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/teorema-sinusov

https://www.youtube.com/watch?v=KQbokFe6Dxs

https://www.youtube.com/watch?v=5Bb24V8hxSo

https://www.youtube.com/watch?v=27ToPV10L6w

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2516/8249/4803

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2516/8249/4804

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/28-test-po-geometrii-9-klass-tema-teorema-sinusov-variant-1.html

Файлы