9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.

9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.

Комментарии преподавателя

 Решение задач

За­да­ча 1.

Даны ко­ор­ди­на­ты вер­шин тра­пе­ции  ABCD. На­пи­ши­те урав­не­ния пря­мых, со­дер­жа­щих

а) диа­го­на­ли AC и BD;

б) сред­нюю линию тра­пе­ции.

Ре­ше­ние (рис. 1):

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 

общее урав­не­ние пря­мой, оно за­да­ет­ся кон­крет­ной трой­кой чисел ab и c.

а) Най­дем урав­не­ние пря­мой АС, для этого в урав­не­ние пря­мой под­став­ля­ем ко­ор­ди­на­ты точек А и С:

Как и рань­ше, по­лу­чи­ли два урав­не­ния с тремя неиз­вест­ны­ми, будем ре­шать ее ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния.

Если с=0, то пря­мая про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат. Под­ста­вим с в любое урав­не­ние:

Ответ: 

б) Най­дем урав­не­ние пря­мой BD: точки B и D имеют одну и ту же ор­ди­на­ту, рав­ную 1, по­это­му урав­не­ние пря­мой BD.

Ответ: 

в) Най­дем ко­ор­ди­на­ты точки M – се­ре­ди­ны CD и точки N – се­ре­ди­ны AB:

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 

Под­став­ля­ем ко­ор­ди­на­ты точек M и N в урав­не­ние 

Под­став­ля­ем в пер­вое урав­не­ние:

Ответ: 

За­да­ча 2.

Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мой  с осями ко­ор­ди­нат. На­чер­ти­те эту пря­мую и най­ди­те длину от­рез­ка пря­мой, от­се­ка­е­мо­го осями ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние:

Опре­де­лим точки пе­ре­се­че­ния с осями и по­стро­им дан­ную пря­мую (рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 

x

0

-4

y

3

0

A(0; 3), B(-4; 0) 

Най­дем длину от­рез­ка АВ:

Ответ: A(0; 3), B(-4; 0), АВ=5.

За­да­ча 3.

Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мых  и .

Ко­ор­ди­на­ты ис­ко­мой точки яв­ля­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми точки пе­ре­се­че­ния пря­мых, по­это­му они удо­вле­тво­ря­ют и пер­во­му и вто­ро­му урав­не­ни­ям пря­мых, то есть сле­ду­ет ре­шить си­сте­му из двух урав­не­ний:

Ко­ор­ди­на­ты точки пе­ре­се­че­ния пря­мых 

Ответ: 

 Роль и смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой

Урав­не­ние на­клон­ной пря­мой – 

В этом урав­не­нии m – ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния с осью Oy, дей­стви­тель­но, 

k – уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент, при k>0 функ­ция воз­рас­та­ет, при k<0 функ­ция убы­ва­ет.

За­да­ча 4.

Опре­де­лить знаки k и m по гра­фи­ку функ­ции .

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 

k>0, так как функ­ция воз­рас­та­ет, угол на­кло­на пря­мой ост­рый, и m>0.            

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

k>0, m<0 (рис. 5).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

k<0, m>0 (рис. 6).

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

k<0,m<0 (рис. 7).

Мы вспом­ни­ли смысл ко­эф­фи­ци­ен­тов в урав­не­нии на­клон­ной пря­мой и про­де­мон­стри­ро­ва­ли опре­де­ле­ние зна­ков этих ко­эф­фи­ци­ен­тов по гра­фи­ку функ­ции.

 Взаимное расположение прямых на плоскости

Вспом­ним те­перь вза­им­ное рас­по­ло­же­ние пря­мых на плос­ко­сти.

Пусть две пря­мые за­да­ны урав­не­ни­я­ми: и 

1.             Пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся, си­сте­ма
 имеет един­ствен­ное ре­ше­ние 

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся  

2.      

В этом слу­чае пря­мые па­рал­лель­ны, си­сте­ма не имеет ре­ше­ний (рис. 9).

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

3.      

Пря­мые сов­па­да­ют, си­сте­ма имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний .

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 Переход от общего уравнения прямой к уравнению наклонной прямой

общее урав­не­ние пря­мой, если  то можно пе­рей­ти к урав­не­нию на­клон­ной пря­мой:

Делим урав­не­ние на b:

обо­зна­чим

и по­лу­чим 

 Взаимное расположение прямых, заданных общим уравнением

Мы рас­смот­ре­ли вза­им­ное рас­по­ло­же­ния пря­мых, за­дан­ных урав­не­ни­ем на­клон­ной пря­мой, рас­смот­рим вза­им­ное рас­по­ло­же­ние пря­мых, за­дан­ных урав­не­ни­я­ми в общем виде.

Со­ста­вим си­сте­му и будем ре­шать ее ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния:

Обо­зна­чим 

тогда 

Вы­ра­зим те­перь у:

Обо­зна­чим 

тогда 

Пе­ре­пи­шем си­сте­му в виде:

Про­ана­ли­зи­ру­ем число ре­ше­ний си­сте­мы в за­ви­си­мо­сти от ее ко­эф­фи­ци­ен­тов.

1. Си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

если 

2. Си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, если , но хотя бы одно из чисел  не равно 0.

3.      Си­сте­ма имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний, если  

С по­мо­щью ме­то­да ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния ис­сле­до­ва­на си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми. Ее спе­ци­фи­ка – на­ли­чие од­но­го ре­ше­ния, бес­чис­лен­но­го мно­же­ства ре­ше­ний или от­сут­ствие ре­ше­ний.

 Примеры на определение взаимного расположения прямых и числа решений системы

За­да­ча.

Не вы­пол­няя по­стро­е­ния, ука­жи­те вза­им­ное рас­по­ло­же­ние пря­мых и число ре­ше­ний си­сте­мы.

1.  
Ре­ше­ние:
пря­мые па­рал­лель­ны, си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

2.    
Ре­ше­ние:
пря­мые сов­па­да­ют, си­сте­ма имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний.

3.  
Ре­ше­ние:
пря­мые па­рал­лель­ны, си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

4.  
Ре­ше­ние:
пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся, си­сте­ма имеет одно ре­ше­ние.

 Заключение

Итак, мы рас­смот­ре­ли серию задач по теме «Урав­не­ние пря­мой», по­вто­ри­ли слу­чаи вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния пря­мых, в част­но­сти, важ­ные факты, ко­то­рые за­клю­ча­ют­ся в том, что си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми имеет одно ре­ше­ние, бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний либо ре­ше­ний не имеет.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/reshenie-zadach-po-teme-uravnenie-pryamoy

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/reshenie-zadach-po-temam-uravnenie-okruzhnosti-i-uravnenie-pryamoy

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/reshenie-zadach-po-temam-uravnenie-okruzhnosti-i-uravnenie-pryamoy-bolee-slozhnye-sluchai

http://www.youtube.com/watch?v=KkDhOk_Zum0

http://www.youtube.com/watch?v=Pdqqlvx0OX8

https://www.youtube.com/watch?v=3GBxgD4W4wU

http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/preobrCDRcurves6.jpg

http://prezentacii.com/uploads/ppt/02-14/uravnenie-pryamoy-na-ploskosti.rar

Файлы