9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.
Комментарии преподавателя
Решение задач
Задача 1.
Даны координаты вершин трапеции ABCD: 
. Напишите уравнения прямых, содержащих
а) диагонали AC и BD;
б) среднюю линию трапеции.
Решение (рис. 1):
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
общее уравнение прямой, оно задается конкретной тройкой чисел a, b и c.
а) Найдем уравнение прямой АС, для этого в уравнение прямой подставляем координаты точек А и С:
Как и раньше, получили два уравнения с тремя неизвестными, будем решать ее методом алгебраического сложения.
Если с=0, то прямая проходит через начало координат. Подставим с в любое уравнение:
Ответ: 
б) Найдем уравнение прямой BD: точки B и D имеют одну и ту же ординату, равную 1, поэтому уравнение прямой BD
.
Ответ: 
в) Найдем координаты точки M – середины CD и точки N – середины AB:
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Подставляем координаты точек M и N в уравнение 
Подставляем в первое уравнение:
Ответ: 
Задача 2.
Найдите координаты точек пересечения прямой 
с осями координат. Начертите эту прямую и найдите длину отрезка прямой, отсекаемого осями координат.
Решение:
Определим точки пересечения с осями и построим данную прямую (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
|
x |
0 |
-4 |
|
y |
3 |
0 |
A(0; 3), B(-4; 0)
Найдем длину отрезка АВ:
Ответ: A(0; 3), B(-4; 0), АВ=5.
Задача 3.
Найдите координаты точек пересечения прямых 
и 
.
Координаты искомой точки являются координатами точки пересечения прямых, поэтому они удовлетворяют и первому и второму уравнениям прямых, то есть следует решить систему из двух уравнений:
Координаты точки пересечения прямых 
Ответ:
Роль и смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой
Уравнение наклонной прямой – 
В этом уравнении m – ордината точки пересечения с осью Oy, действительно, 
k – угловой коэффициент, при k>0 функция возрастает, при k<0 функция убывает.
Задача 4.
Определить знаки k и m по графику функции 
.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
k>0, так как функция возрастает, угол наклона прямой острый, и m>0.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
k>0, m<0 (рис. 5).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
k<0, m>0 (рис. 6).
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
k<0,m<0 (рис. 7).
Мы вспомнили смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой и продемонстрировали определение знаков этих коэффициентов по графику функции.
Взаимное расположение прямых на плоскости
Вспомним теперь взаимное расположение прямых на плоскости.
Пусть две прямые заданы уравнениями: 
и 
1. Прямые пересекаются, система
имеет единственное решение 
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Прямые пересекаются 
2. 
В этом случае прямые параллельны, система не имеет решений (рис. 9).
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
3. 
Прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений 
.
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Переход от общего уравнения прямой к уравнению наклонной прямой
общее уравнение прямой, если 
то можно перейти к уравнению наклонной прямой:
Делим уравнение на b:
обозначим
и получим
Взаимное расположение прямых, заданных общим уравнением
Мы рассмотрели взаимное расположения прямых, заданных уравнением наклонной прямой, рассмотрим взаимное расположение прямых, заданных уравнениями в общем виде.
Составим систему и будем решать ее методом алгебраического сложения:
Обозначим 
тогда 
Выразим теперь у:
Обозначим 
тогда 
Перепишем систему в виде:
Проанализируем число решений системы в зависимости от ее коэффициентов.
1. Система имеет единственное решение
если 
2. Система не имеет решений, если 
, но хотя бы одно из чисел 
не равно 0.
3. Система имеет бесчисленное множество решений, если 
С помощью метода алгебраического сложения исследована система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Ее специфика – наличие одного решения, бесчисленного множества решений или отсутствие решений.
Примеры на определение взаимного расположения прямых и числа решений системы
Задача.
Не выполняя построения, укажите взаимное расположение прямых и число решений системы.
1. 
Решение:
прямые параллельны, система решений не имеет.
2. 
Решение:
прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений.
3. 
Решение:
прямые параллельны, система решений не имеет.
4. 
Решение:
прямые пересекаются, система имеет одно решение.
Заключение
Итак, мы рассмотрели серию задач по теме «Уравнение прямой», повторили случаи взаимного расположения прямых, в частности, важные факты, которые заключаются в том, что система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет одно решение, бесчисленное множество решений либо решений не имеет.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/reshenie-zadach-po-teme-uravnenie-pryamoy
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/reshenie-zadach-po-temam-uravnenie-okruzhnosti-i-uravnenie-pryamoy
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/reshenie-zadach-po-temam-uravnenie-okruzhnosti-i-uravnenie-pryamoy-bolee-slozhnye-sluchai
http://www.youtube.com/watch?v=KkDhOk_Zum0
http://www.youtube.com/watch?v=Pdqqlvx0OX8
https://www.youtube.com/watch?v=3GBxgD4W4wU
http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/preobrCDRcurves6.jpg
http://prezentacii.com/uploads/ppt/02-14/uravnenie-pryamoy-na-ploskosti.rar