9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.

9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.

Комментарии преподавателя

 Уравнение прямой

Пря­мой, к при­ме­ру, яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку. Для за­да­ния пря­мой сле­ду­ет за­фик­си­ро­вать концы от­рез­ка и на­пи­сать урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, ис­поль­зуя тот факт, что се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек, рав­но­уда­лен­ных от кон­цов от­рез­ка.

Вы­ве­дем урав­не­ние пря­мой – се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра р к от­рез­ку АВ

Рис. 1. Урав­не­ние пря­мой

Пусть точка М(х;у) – про­из­воль­ная точка се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, тогда она рав­но­уда­ле­на от точек А и В (рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

 это урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Если точка , то ее ко­ор­ди­на­ты удо­вле­тво­ря­ют по­лу­чен­но­му урав­не­нию.

Упро­стим урав­не­ние – рас­кро­ем скоб­ки и при­ве­дем по­доб­ные сла­га­е­мые:

Обо­зна­чим:

 хотя бы одно из чисел a и b не равно 0, так как точки А и В раз­ные.

Тогда урав­не­ние пря­мой при­мет вид:

фик­си­ро­ван­ные числа. Такое урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся общим урав­не­ни­ем пря­мой.

 Частные случаи уравнения прямой

а) Вер­ти­каль­ная пря­мая (рис. 3).

Рис. 3. Вер­ти­каль­ная пря­мая

Если через точку  про­ве­сти вер­ти­каль­ную пря­мую, то есть пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси х, то ее урав­не­ние будет . Ана­ло­гич­но,  и т. д. (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Об­ра­тим вни­ма­ние на по­след­нюю пря­мую . Вся пря­мая про­ек­ти­ру­ет­ся на ось х в точку 3. На этой пря­мой много точек, но абс­цис­са каж­дой из них равна 3.

Урав­не­ние вер­ти­каль­ной пря­мой:  или  .

Урав­не­ние оси Oy.

б)             Го­ри­зон­таль­ная пря­мая (рис. 5).

Рис. 5. Го­ри­зон­таль­ная пря­мая

Если го­ри­зон­таль­ная пря­мая про­хо­дит через точку , то ее урав­не­ние , любая точка этой пря­мой имеет ор­ди­на­ту .

Урав­не­ние го­ри­зон­таль­ной пря­мой  или .

Урав­не­ние оси .

 Решение задач

За­да­ча 1.

На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки  и . Най­ди­те точки пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с осями ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние (рис. 6):

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

1. Урав­не­ние ис­ко­мой пря­мой будем ис­кать в виде: 

Пря­мая про­хо­дит через точки А и В, зна­чит, ко­ор­ди­на­ты этих точек удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию пря­мой. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

Это си­сте­ма из двух урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми, при ре­ше­нии ее будем счи­тать, что с из­вест­но.

Под­ста­вим в урав­не­ние:

 по­это­му на с можно со­кра­тить: 

2. На­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния с осями (рис. 7, 8).

точка 

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

точка 

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

За­да­ча 2.

а) На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой CD, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки C(2; 5) и D(5; 2) .

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го пря­мой CD и осями ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние (рис. 9):

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а)  ис­ко­мое урав­не­ние пря­мой. Ко­ор­ди­на­ты точек C и D под­ста­вим в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

б)             На­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния с осями ко­ор­ди­нат и пло­щадь тре­уголь­ни­ка (рис. 10):

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

 Уравнение наклонной прямой

общее урав­не­ние пря­мой.

Рас­смот­рим слу­чай 

Обо­зна­чим

и по­лу­чим урав­не­ние на­клон­ной пря­мой:

В этом урав­не­нии m – ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью yk – уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент.

 Решение задач

Для при­ме­ра решим вто­рым спо­со­бом преды­ду­щую за­да­чу. На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой CD, про­хо­дя­щей через две дан­ные точки  C(2; 5) и D(5; 2) .

Будем ис­кать урав­не­ние пря­мой в виде , ко­ор­ди­на­ты точек C и D удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию:

За­да­ча 3.

а) На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой MN, где M(0; 1), N(-4; -5).

б) В тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном пря­мой MN и осями ко­ор­ди­нат, найти длину ме­ди­а­ны OD, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны О(0;0).

Ре­ше­ние (рис. 11):

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а) Урав­не­ние пря­мой будем ис­кать в виде  Под­ста­вим в урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точек M и N:

б) Опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мой с осями ко­ор­ди­нат: точка M нам из­вест­на; ко­ор­ди­на­ты точки А опре­де­лим как ко­ор­ди­на­ты точки пе­ре­се­че­ния с осью Ох из си­сте­мы (рис. 12):

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Те­перь най­дем ко­ор­ди­на­ты точки D как се­ре­ди­ны от­рез­ка AM:

и вы­чис­лим длину от­рез­ка  OD:

Ответ: 

Решим эту же за­да­чу вто­рым спо­со­бом. Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через точки M(0; 1) и N(-4; -5), ис­поль­зуя урав­не­ние на­клон­ной пря­мой в виде . Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек в урав­не­ние и по­лу­чим си­сте­му:

За­да­ча 4.

На­пи­ши­те урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку АВ, где А(-7; 5), В(3; -1) (рис. 13).

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние:

В на­ча­ле этого урока мы вы­ве­ли урав­не­ние пря­мой как урав­не­ние се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку, ис­поль­зуя то, что любая точка се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра рав­но­уда­ле­на от его кон­цов. Если , то .

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рас­кро­ем скоб­ки и при­ве­дем по­доб­ные члены:

Ответ: 

 Заключение

Итак, мы вы­ве­ли урав­не­ние пря­мой и ис­поль­зо­ва­ли его для ре­ше­ния про­стей­ших задач. На сле­ду­ю­щем уроке мы про­дол­жим ре­шать за­да­чи по теме «Урав­не­ние пря­мой».

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/uravnenie-pryamoy

http://www.youtube.com/watch?v=YUMF-jSOZBk

http://www.youtube.com/watch?v=-0E-5uRworY

http://www.youtube.com/watch?v=zOg4hipjy_c

http://www.youtube.com/watch?v=aWrWel3jDAA

http://www.mathprofi.ru/uravnenie_pryamoi_na_ploskosti.html

http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/forms_of_equation_of_line_on_plane.html

http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm

Файлы