9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.
Комментарии преподавателя
Окружность – важная геометрическая фигура, которая имеет много интересных свойств, многие из которых базируются на подобии треугольников. Поэтому вначале мы повторим три признака подобия треугольников и теоремы подобия прямоугольных треугольников. А далее рассмотрим свойства окружности.
Признаки подобия треугольников
Два треугольника называются подобными, если у них все углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. При решении задач пользуются признаками подобия треугольников.
Первый признак (по двум углам):
Рис. 1. Первый признак подобия треугольников
если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 1):
Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (рис. 2):
Рис. 2. Второй признак подобия треугольников
Третий признак (по трём сторонам): если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3):
Рис. 3. Третий признак подобия треугольников
Подобие в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом, ÐС=90°. В треугольнике проведем высоту СН и примем стандартные обозначения – катеты a, b; гипотенуза с; острые углы α и β, проекции катетов на гипотенузу 
и 
. Легко заметить, что углы между высотой и катетами также равны α и β (рис. 4).
Рис. 4. Подобие в прямоугольном треугольнике
Из подобия треугольников АВС, АСН и ВСН вытекают важнейшие соотношения:
(катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу);
(высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу).
Свойства окружности
Рассмотрим важнейшую комбинацию: окружность и точка – точка может лежать на окружности, внутри окружности или вне ее.
Точка на окружности.
Рассмотрим окружность с центром в т. О. На окружности отметим произвольную точку
А. Если из точки А провести две хорды АВ и АС, то получим вписанный в окружность угол ВАС. Говорят, что угол ВАС опирается на дугу ВС. Дуга ВС имеет не только длину, но и градусную меру. Градусная мера дуги ВС равна градусной мере центрального угла ВОС (рис. 5).
Рис. 5. Градусная мера дуги ВС равна градусной мере центрального угла ВОС
Теорема о вписанном угле гласит, что если градусная мера угла ВАС равна α, то градусная мера угла ВОС (а, соответственно, и дуги ВС) равна 2α. (Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).
Следствия:
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (рис. 6):
ÐА = ÐА1 = ÐА2.
Рис. 6. Иллюстрация к следствию
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр – прямые (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к следствию
Теорема. Пусть дана точка на окружности, через которую проходят касательная и хорда, причём угол между касательной и хордой равен α. Тогда дуга, стягиваемая хордой, имеет градусную меру 2α, а любой вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен α (рис. 8).
ÐМАВ = 
= ÐА1 = ÐА2.
Рис. 8. Иллюстрация к теореме
Точка внутри окружности.
Пусть дана окружность и некоторая точка М внутри неё.
Теорема. Произведение отрезков хорд, проходящих через точку М, есть величина постоянная для данной точки М: 
. (рис. 9)
Рис. 9. Иллюстрация к теореме
Доказать данное утверждение можно, если соединить точки А и С, затем точки В и D, и воспользоваться подобием полученных треугольников.
Точка вне окружности.
Дана окружность и точка М, лежащая вне этой окружности. Из точки М проведены касательная МА к окружности и две секущие МС и МK. МС – длина секущей, МВ – ее внешняя часть.
Теорема. Произведение длины секущей на свою внешнюю часть есть величина постоянная для данной точки М, лежащей вне окружности, и равная квадрату отрезка касательной, проходящей через точку М: 
(рис. 10).
Рис. 10. Иллюстрация к теореме
Чтобы доказать эту теорему, следует построить хорды АВ и АС и, опираясь на свойства угла между касательной и хордой, доказать подобие треугольников АВС и АМВ, откуда и вывести требуемое соотношение (рис. 11).
Рис. 11. Иллюстрация к теореме
Заключение
Итак, мы повторили признаки подобия треугольников, рассмотрели свойства окружности, рассмотрели различные способы расположения точки относительно окружности и вспомнили свойства окружности, которые являются следствиями подобия треугольников.
Определение окружности
Начнем с определения, что такое окружность. Вот одно из неверных определений.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, от центра.
В чем ошибочность?
Давайте рассмотрим множество из четырех вершин квадрата. Все вершины квадрата равноудалены от одной точки, от центра квадрата. Но ведь это не окружность, а совсем небольшая часть окружности.
Дадим правильное определение окружности.
Окружностью называется множество ВСЕХ точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра. Ключевое слово здесь «всех», это важно, так как мы хотим вывести уравнение окружности.
Формула расстояния между двумя точками (напоминание)
В определении окружности фигурирует расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками 
и 
или
Рис. 1. Расстояние между двумя точками
Опираясь на формулу и определение окружности, можно вывести уравнение окружности с центром в точке 
радиуса 
.
Рис. 2. Уравнение окружности
Выбираем произвольную точку 
на этой окружности.
Если точка 
принадлежит окружности с центром 
и радиусом 
, то 
.
Тогда 
и координаты точки удовлетворяют уравнению окружности
.
Если же точка не лежит на окружности, то 
и координаты точки не удовлетворяют уравнению окружности.
Таким образом, уравнение окружности с центром в точке радиуса имеет вид:
.
Частный случай уравнения окружности с центром в точке 
:
.
Решение задач
Рассмотрим задачи на уравнение окружности.
Задача 1.
Начертить окружность, заданную уравнением 
, указать ее центр и радиус. Найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение:
Центр этой окружности, исходя из уравнения, точка , радиус 
.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Длина окружности и площадь круга вычисляются по формулам:
.
Общие точки с осью х: 
; 
с осью у: 
; 
Задача 2.
Дано уравнение окружности: 
.
Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение:
Центр этой окружности точка 
, радиус 
.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Если известен радиус, то по формулам можно вычислить длину окружности и площадь круга:
Точки пересечения с осями:
С осью х: точка 
это точка касания, ее координаты 
Найдем точки пересечения с осью 
Ось 
имеет уравнение 
, подставив в уравнение окружности, получим уравнение относительно :
Итак, точки пересечения с осью у: 
; 
.
Задача 3.
Дано уравнение окружности: 
.
Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение: центр этой окружности точка 
радиус 
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
; 
.
Точки пересечения с осями:
С осью у: точка касания 
.
С осью 
: ось имеет уравнение 
, подставляем в уравнение окружности :
Итак, точки пересечения с осью y: 
; 
.
Задача 4.
Начертить окружность, заданную уравнением 
, указать ее центр, радиус. Найти точки пересечения с осями.
Решение:
Центр этой окружности точка 
адиус 
.
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Точки пересечения с осями:
С осью у: уравнение оси подставляем в уравнение окружности:
и 
Точки пересечения с осью у: 
С осью х: уравнение оси подставляем в уравнение окружности:
и 
Точки пересечения с осью х: 
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Найти длину хорды 
.
Решение (рис. 8):
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Зная координаты точек и 
, по формуле расстояния между точками находим длину хорды:
Найти координаты точки 
– середины отрезка 
.
Решение (рис. 9):
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Координаты концов отрезка известны, координаты середины отрезка определяем по формулам:
Найти площадь треугольника 
.
Решение (рис. 10):
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Треугольник равносторонний,
;
Задача 5.
Окружность задана уравнением 
.
Не пользуясь чертежом, укажите какие из точек 
лежат:
а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
б) на окружности;
в) вне круга, ограниченного данной окружностью.
Решение:
Центр окружности – точка 
радиус 
Для того чтобы проверить, где расположена точка относительно окружности, будем вычислять расстояние от точки до центра окружности и сравнивать его с радиусом.
Точка 
:
т. лежит вне круга.
Точка 
:
т. лежит на окружности.
Точка 
т. лежит внутри круга.
Точка 
:
т. 
лежит вне круга.
Задача 6.
Составить уравнение окружности с диаметром 
, если 
Решение: найдем координаты центра окружности 
, это координаты середины отрезка 
Найдем радиус, это половина диаметра:
– уравнение окружности.
Заключение
Итак, мы вывели уравнение окружности и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим изучать уравнение окружности и будем использовать его для решения более сложных задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/povtorenie/okruzhnost-2?seconds=0&chapter_id=199
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/uravnenie-okruzhnosti?seconds=0&chapter_id=200
http://www.youtube.com/watch?v=2rvJsLoXRC8
http://www.youtube.com/watch?v=AFxCMoRtQRo
https://www.youtube.com/watch?v=gG5QS4GTW4g
http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/10/16/uravnenie_okruzhnosti.pptx
http://onlinegdz.net/%C2%A7-3-uravneniya-okruzhnosti-i-pryamoj-uchebnik-po-geometrii-9-klass/
http://wpcalc.com/uravnenie-okruzhnosti-po-trem-tochkam/
http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/preobrCDRcurves6.jpg