11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

Четырехугольную пирамиду можно вписать в конус, если суммы ...

Комментарии преподавателя

 Разветвление: доказательство

Конус впи­сан в пи­ра­ми­ду (или пи­ра­ми­да опи­са­на около ко­ну­са), если у них сов­па­да­ют вер­ши­ны, а ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды (рис. 1).

Рис. 1. Конус, впи­сан­ный в пи­ра­ми­ду

Рис. 2. Конус, впи­сан­ный в пи­ра­ми­ду

Рис. 3. Конус, впи­сан­ный в пи­ра­ми­ду

Вы­со­ты ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют (рис. 2).

Об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, про­ве­ден­ные в точки ка­са­ния окруж­но­сти и мно­го­уголь­ни­ка ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, лежат в бо­ко­вых гра­нях пи­ра­ми­ды. Более того, неслож­но по­ка­зать, что это будут апо­фе­мы бо­ко­вых гра­ней.

До­ка­за­тель­ство

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Конус впи­сан в пи­ра­ми­ду, пусть  – общая вер­ши­на,  – центр ос­но­ва­ния,  – точка ка­са­ния ос­но­ва­ния ко­ну­са и сто­ро­ны  ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. По­ка­жем, что  – апо­фе­ма со­от­вет­ству­ю­щей грани (рис. 4).

За­ме­тим, что  – про­ек­ция  на плос­кость ос­но­ва­ния. Кроме этого, , так как ра­ди­ус пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. Зна­чит, в силу тео­ре­мы о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Условия, при которых конус можно вписать в пирамиду

Для того чтобы впи­сать конус в пи­ра­ми­ду, нужно, чтобы в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды можно было впи­сать окруж­ность.

Вер­ши­на ко­ну­са про­ек­ти­ру­ет­ся в центр сво­е­го ос­но­ва­ния. Так как она долж­на сов­пасть с вер­ши­ной пи­ра­ми­ды, то вер­ши­на пи­ра­ми­ды долж­на про­ек­ти­ро­вать­ся в центр впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти.

Со­от­вет­ствен­но, конус все­гда можно впи­сать в пра­виль­ную пи­ра­ми­ду.

До­ка­жем, что если все апо­фе­мы в пи­ра­ми­де равны, то в пи­ра­ми­ду можно впи­сать конус (рис. 5).

До­ка­за­тель­ство

Рис. 5. Конус, впи­сан­ный в пи­ра­ми­ду

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Пусть вы­со­та пи­ра­ми­ды – . Раз все апо­фе­мы , … равны, то тре­уголь­ни­ки , … равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту (рис. 6).

Тогда от­рез­ки  и т. д. также равны (рис. 7). Из этого сле­ду­ет, что  – центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние. Кроме того, по по­стро­е­нию вер­ши­на  про­ек­ти­ру­ет­ся в этот центр. А зна­чит, конус можно впи­сать в пи­ра­ми­ду.

Можно рас­смот­реть и такую фор­му­ли­ров­ку: если все грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то в пи­ра­ми­ду можно впи­сать конус (рис. 8). До­ка­зы­ва­ет­ся это ана­ло­гич­но через ра­вен­ство все тех же тре­уголь­ни­ков.

Рис. 8. Конус, впи­сан­ный в пи­ра­ми­ду

 Задача №1

Усло­вие. Дана пра­виль­ная 4-уголь­ная пи­ра­ми­да, все ребра ко­то­рой равны 2. Можно ли в нее впи­сать конус? Если да, то найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этого ко­ну­са (рис. 9).

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной 4-уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат, а в него можно впи­сать окруж­ность. Кроме того, вер­ши­на про­ек­ти­ру­ет­ся в центр квад­ра­та. Зна­чит, в дан­ную пи­ра­ми­ду можно впи­сать конус (рис. 10).

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са по фор­му­ле, . Необ­хо­ди­мо найти ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са () и его об­ра­зу­ю­щую () (рис. 11).

За­ме­тим, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат со сто­ро­ной 2. Оче­вид­но, он равен по­ло­вине сто­ро­ны квад­ра­та – 1.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна апо­фе­ме бо­ко­вой грани. Это вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 2. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра . Зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна: .

Ответ: .

 Конус, описанный около пирамиды

Рис. 12. Конус, опи­сан­ный во­круг пи­ра­ми­ды 

                                    

Рис. 13. Конус, опи­сан­ный во­круг пи­ра­ми­ды

Го­во­рят, что конус можно опи­сать около пи­ра­ми­ды (или пи­ра­ми­ду впи­сать в конус), если их вер­ши­ны сов­па­да­ют, а ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды впи­са­но в ос­но­ва­ние ко­ну­са (рис. 12).

Оче­вид­но, что бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды будут равны об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, то есть равны между собой. И, как и в пер­вом слу­чае, вы­со­ты фигур сов­па­дут (рис. 13).

 Условия, при которых конус можно описать около пирамиды

Рис. 14. Конус, опи­сан­ный около тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды

Рис. 15. Конус, опи­сан­ный около пра­виль­ной пя­ти­уголь­ной пи­ра­ми­ды

Для того чтобы опи­сать конус около пи­ра­ми­ды, нужно, чтобы ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды можно было впи­сать в окруж­ность. Кроме того, вер­ши­на ко­ну­са про­ек­ти­ру­ет­ся в центр сво­е­го ос­но­ва­ния. Так как она долж­на сов­пасть с вер­ши­ной пи­ра­ми­ды, то вер­ши­на пи­ра­ми­ды долж­на про­ек­ти­ро­вать­ся в центр впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти, что для пра­виль­ной пи­ра­ми­ды верно все­гда (рис. 14, 15).

Вывод: вы­со­ты у ко­ну­са и впи­сан­ной в него пи­ра­ми­ды сов­па­дут.

Эк­ви­ва­лент­ные фор­му­ли­ров­ки

Если все бо­ко­вые ребра в пи­ра­ми­де равны (рис. 16) либо если они рав­но­на­кло­не­ны (рис. 17) к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то пи­ра­ми­ду можно впи­сать в конус.

Рис. 16. Конус, опи­сан­ный около пи­ра­ми­ды

Рис. 17. Конус, опи­сан­ный около пи­ра­ми­ды

До­ка­зы­ва­ет­ся это аб­со­лют­но ана­ло­гич­но слу­чаю впи­сан­но­го ко­ну­са, толь­ко пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки в ка­че­стве ги­по­те­нуз будут иметь не апо­фе­мы, а бо­ко­вые ребра.

 Задача №2

Усло­вие. Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, впи­сан­ная в конус. В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 6, 8 и 10. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 13. Найти вы­со­ту ко­ну­са и пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды (рис. 18).

Рис. 18. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Ре­ше­ние

За­ме­тим, что вы­со­та ко­ну­са ищет­ся через ра­ди­ус ко­ну­са и его об­ра­зу­ю­щую. А ра­ди­ус ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды.

Так как этот тре­уголь­ник имеет сто­ро­ны 6, 8 и 10, то по об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра он пря­мо­уголь­ный.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: тре­уголь­ник ока­зал­ся пря­мо­уголь­ным. А что де­лать, если бы числа были дру­ги­ми? Тогда ра­бо­та­ет фор­му­ла . Сто­ро­ны из­вест­ны, а пло­щадь можно найти по фор­му­ле Ге­ро­на.

Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен по­ло­вине ги­по­те­ну­зы, то есть 5. Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим вы­со­ту ко­ну­са: .

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды. За­ме­тим, что каж­дая ее грань – тре­уголь­ник, бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 13, а ос­но­ва­ния – 6, 8 и 10 со­от­вет­ствен­но. Най­дем вы­со­ты в гра­нях, про­ве­дя их и вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра. Затем через них най­дем пло­ща­ди и все сло­жим.

;

;

Итого, .

Ответ: .

 Задача №3

Усло­вие. Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит тра­пе­ция  (). Из­вест­но, что в пи­ра­ми­ду можно впи­сать конус и около пи­ра­ми­ды можно опи­сать конус. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 2 и 8, вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 1. Найти об­ра­зу­ю­щие обоих ко­ну­сов (рис. 18).

Рис. 18. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

Рис. 19. Тра­пе­ция 

Ре­ше­ние. Так как можно впи­сать и опи­сать, то тра­пе­ция впи­сан­ная (рав­но­бед­рен­ная) и опи­сан­ная (сумма бо­ко­вых сто­рон равна сумме ос­но­ва­ний, то есть 10). Тогда бо­ко­вые сто­ро­ны равны по 5, а вы­со­та равна 4 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. От­сю­да об­ра­зу­ю­щая впи­сан­но­го ко­ну­са равна .

Далее най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти. Рас­смот­рим тре­уголь­ник  (рис. 19). Его сто­ро­ны: . Вы­со­та , тогда .

 Тогда . За­ме­тим, что это и есть ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тра­пе­ции. Таким об­ра­зом, ра­ди­ус опи­сан­но­го ко­ну­са равен  а зна­чит, его об­ра­зу­ю­щая равна .

Ответ: .

 Заключение

На дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли два ва­ри­ан­та вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния пи­ра­ми­ды и ко­ну­са. Ре­ши­ли за­да­чи по этой теме.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/kombinatsiya-piramidy-i-konusa

http://www.youtube.com/watch?v=k0O1gGhoKz4

http://www.youtube.com/watch?v=Z9w96vXOjsQ

http://www.youtube.com/watch?v=CHnkEZJtAIc

https://www.youtube.com/watch?v=UVukKUD2Sfk

http://cs14112.vk.me/c7006/v7006056/118eb/J7fLvkSrBMc.jpg

http://900igr.net/datas/geometrija/Objom-konusa/0003-003-2.-V-pravilnuju-treugolnuju-piramidu-vpisan-konus.jpg

http://x-uni.com/geometriya/11-klass/video/kombinatsiya-piramidy-i-konusa

http://takya.ru/download/dlya-togo-chtobi-okolo-piramidi-mojno-bilo-opisate-sferu-neobh.doc

http://www.uznateshe.ru/piramida-vpisana-v-konus/

Файлы