11 класс. Геометрия. Тела вращения. Сфера и шар.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Сфера и шар.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ...

Комментарии преподавателя

 Задача №1

Усло­вие: шар ра­ди­у­са 25 дм пе­ре­се­чен плос­ко­стью, на­хо­дя­щей­ся на рас­сто­я­нии 24 дм от цен­тра. Найти пло­щадь се­че­ния (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1 и 2

Дано:

Ре­ше­ние:

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, ко­то­рый яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем). Пусть  – про­из­воль­ная точка на окруж­но­сти се­че­ния.  – ра­ди­ус шара.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

, тогда ;

Пло­щадь се­че­ния равна:

Ответ: пло­щадь се­че­ния равна .

 Задача №2

Усло­вие: рас­сто­я­ние от цен­тра шара до се­ку­щей его плос­ко­сти равно 2 см. Пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью равна 16 см2. Найти ра­ди­ус этого шара.

Дано:

см2

Ре­ше­ние:

Смот­ри рис. 1.

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, ко­то­рый яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем).

Пусть  – про­из­воль­ная точка на окруж­но­сти се­че­ния.

 – ра­ди­ус шара,  – ра­ди­ус се­че­ния.

Пло­щадь се­че­ния равна:

тогда .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

, тогда

.

Ответ: ра­ди­ус шара равен  см.

 Задача №3

Усло­вие. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка  ка­са­ют­ся сферы ра­ди­у­са 5 см. Найти рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до плос­ко­сти , если  (рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

Ре­ше­ние

Зная ра­ди­ус сферы, нужно найти рас­сто­я­ние от цен­тра до плос­ко­сти. Для этого до­ста­точ­но найти ра­ди­ус окруж­но­сти, по­лу­чен­ной в се­че­нии сферы плос­ко­стью. Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  ( – центр сферы,  – центр окруж­но­сти се­че­ния,  – точка на этой окруж­но­сти) мы смо­жем найти ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти се­че­ния. Она яв­ля­ет­ся впи­сан­ной для тре­уголь­ни­ка . Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой: . Тогда ;

 – по­лу­пе­ри­метр.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

.

Со­от­вет­ствен­но: 

Най­дем рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до плос­ко­сти.

Ис­ко­мое рас­сто­я­ние – это катет тре­уголь­ни­ка  с ги­по­те­ну­зой 5 и дру­гим ка­те­том 4. Тогда легко по­ка­зать, что .

Ответ: рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до плос­ко­сти  равно 3 см.

 Задача №4

Усло­вие. Все сто­ро­ны ромба, диа­го­на­ли ко­то­ро­го равны 15 см и 20 см, ка­са­ют­ся сферы ра­ди­у­са 10 см. Найти рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до плос­ко­сти ромба.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 4

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 4

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 4

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим се­че­ние сферы плос­ко­стью ромба. Это окруж­ность, ко­то­рая впи­са­на в ромб. Най­дем ее ра­ди­ус (рис. 3).

Оче­вид­но, это будет по­ло­ви­на вы­со­ты ромба. То есть это вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 10 и 7,5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за, то есть сто­ро­на ромба, равна  

Тогда вы­со­та тре­уголь­ни­ка  (рис. 4) равна .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем ис­ко­мое рас­сто­я­ние от цен­тра до плос­ко­сти  (рис. 5). Имеем тре­уголь­ник, по­доб­ный «еги­пет­ско­му» тре­уголь­ни­ку, то есть недо­ста­ю­щий катет его равен 8.

Ответ: рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до плос­ко­сти ромба равно 8 см.

 Задача №5

Усло­вие. Ра­ди­ус сферы равен 112 см. Точка, ле­жа­щая на ка­са­тель­ной плос­ко­сти к сфере, уда­ле­на от точки ка­са­ния на 15 см. Найти рас­сто­я­ние от дан­ной точки до бли­жай­шей к ней точки сферы.

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 5

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 5

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 5

Ре­ше­ние. Пусть центр сферы – точка , точка ка­са­ния – точка , а дан­ная точка – . Тогда  (рис. 6).

Пусть  пе­ре­се­ка­ет сферу в точке . Тогда точка  – ис­ко­мая точка (рис. 7). До­ка­жем, что оно наи­мень­шее.

Пусть точка  (от­лич­ная от ) (рис. 8) на сфере та­ко­ва, что . Тогда . Но  по нера­вен­ству тре­уголь­ни­ка. Зна­чит,  – ис­ко­мое.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 Тогда .

Ответ: рас­сто­я­ние равно 1 см.

 Более сложная задача

Усло­вие. Через точку сферы ра­ди­у­са  про­ве­ли две плос­ко­сти, одна из ко­то­рых ка­са­ет­ся сферы, а дру­гая на­кло­не­на к пер­вой под углом . Найти длину окруж­но­сти се­че­ния сферы вто­рой плос­ко­стью (рис. 9).

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, нужно найти ра­ди­ус ис­ко­мо­го се­че­ния. Пусть  – центр сферы,  – точка, через ко­то­рую про­ве­ли две плос­ко­сти,  – центр окруж­но­сти се­че­ния (рис. 10).

За­ме­тим, что угол  равен 90 гра­ду­сам. Дей­стви­тель­но, по тео­ре­ме  пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной плос­ко­сти, а зна­чит, и любой пря­мой в дан­ной плос­ко­сти, в част­но­сти пря­мой  (рис. 11).

Со­от­вет­ствен­но, угол .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник  (пря­мо­уголь­ный). По опре­де­ле­нию ко­си­ну­са, . А тогда длина окруж­но­сти равна 

Ответ: 

 Заключение

На дан­ном уроке мы при­ме­ни­ли по­лу­чен­ные тео­ре­ти­че­ские зна­ния по теме: «Сфера и шар» на прак­ти­ке. Ре­ши­ли несколь­ко задач на эту тему.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar

http://www.youtube.com/watch?v=oz3JcU08s3s

http://www.youtube.com/watch?v=Cvd2WaW681s

http://www.youtube.com/watch?v=Xek1eJh5P3k

https://www.youtube.com/watch?v=wg9Bas4DEbA

http://pedsovet.su/matem/45950_sfera_shar

http://gdz-matem.ru/11class/201-63-sfera.html

Файлы