11 класс. Геометрия. Тела вращения. Сфера и шар.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Сфера и шар.

Комментарии преподавателя

 Взаимное расположение окружности и прямой

Воз­мож­ны три слу­чая рас­по­ло­же­ния окруж­но­сти и пря­мой:

1. Пря­мая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в двух точ­ках (когда рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой мень­ше ра­ди­у­са) (рис. 1а).

2. Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти (когда рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой равно ра­ди­у­су) (рис. 1б).

3. Пря­мая не пе­ре­се­ка­ет окруж­ность (когда рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой боль­ше ра­ди­у­са) (рис. 1в).

Рис. 1а                                                             Рис. 1б                                                                   Рис. 1в

Рис. 1. Вза­им­ное рас­по­ло­же­ние окруж­но­сти и пря­мой

 Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Плос­кость не пе­ре­се­ка­ет сферу (рис. 2а).

2. Плос­кость ка­са­ет­ся сферы (рис. 2б).

3. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет сферу (рис. 2в).

Рис. 2а.                                                        Рис. 2б                                                  Рис 2в

Рис. 2. Вза­им­ное рас­по­ло­же­ние сферы и плос­ко­сти

Для до­ка­за­тель­ства вос­поль­зу­ем­ся ме­то­да­ми ал­геб­ры.

 Теорема а взаимном расположении сферы и плоскости

Рис. 3. Сфера ра­ди­у­са  с цен­тром в точке  и плос­кость 

Пусть дана сфера ра­ди­у­са  и плос­кость  (рис. 3), ко­то­рая на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии  от цен­тра сферы. Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат в про­стран­стве и будем счи­тать, что плос­кость  сов­па­да­ет с плос­ко­стью  (). Счи­та­ем, что центр сферы лежит на оси . Тогда раз рас­сто­я­ние до плос­ко­сти равно , то ко­ор­ди­на­ты цен­тра  сферы будут .

Со­от­вет­ствен­но, урав­не­ние сферы вы­гля­дит так: .

Если пе­ре­сечь сферу плос­ко­стью, то ко­ор­ди­на­ты всех точек, при­над­ле­жа­щих од­но­вре­мен­но обеим фи­гу­рам, удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме:

Под­ста­вив , рав­ное 0, в пер­вое урав­не­ние, имеем: .

Так как вы­ра­же­ние  может при­ни­мать не толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, но также и от­ри­ца­тель­ные, рас­смот­рим три слу­чая:

1. Если . Тогда сумма квад­ра­тов равна от­ри­ца­тель­но­му числу – ре­ше­ний у та­ко­го урав­не­ния нет, зна­чит, и точек пе­ре­се­че­ния у плос­ко­сти и окруж­но­сти нет.

2. Если . Тогда . Вспом­нив, что и  у нас равно 0, имеем в пе­ре­се­че­нии одну точку .

3. Если . Тогда , а это урав­не­ние окруж­но­сти. Зна­чит, се­че­ние сферы плос­ко­стью есть окруж­ность. Со­от­вет­ствен­но, се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг.

Стоит от­ме­тить, что при  дан­ное се­че­ние прой­дет через центр сферы и по­лу­чит­ся окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су сферы. Такое се­че­ние на­зы­ва­ют диа­мет­раль­ным.

 Разветвление: теорема о касательной плоскости к сфере

Ка­са­тель­ной плос­ко­стью к сфере на­зы­ва­ют такую плос­кость, ко­то­рая имеет со сфе­рой ровно одну общую точку. Их общая точка на­зы­ва­ет­ся точ­кой ка­са­ния плос­ко­сти и сферы.

Рис. 4. Ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству тео­ре­мы

Тео­ре­ма: ра­ди­ус сферы  (рис. 4), про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния сферы и плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной плос­ко­сти.

До­ка­за­тель­ство от про­тив­но­го: пред­по­ло­жим, что ра­ди­ус  про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, не пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти. Тогда про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр  к дан­ной плос­ко­сти (рис. 5). Тогда рас­сто­я­ние  будет мень­ше, чем , так как  – на­клон­ная, а  – пер­пен­ди­ку­ляр. Из этого сле­ду­ет, что точка  лежит внут­ри сферы, так как  мень­ше ра­ди­у­са . А это зна­чит, что име­ет­ся еще одна точка пе­ре­се­че­ния сферы и плос­ко­сти, что яв­ля­ет­ся про­ти­во­ре­чи­ем. Зна­чит, ис­ход­ное пред­по­ло­же­ние невер­но и ра­ди­ус  пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной плос­ко­сти.

Об­рат­ная тео­ре­ма: если ра­ди­ус сферы пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через его конец, ле­жа­щий на сфере, то эта плос­кость яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной.

До­ка­за­тель­ство: раз ра­ди­ус пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти, то рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до плос­ко­сти равно ра­ди­у­су, а тогда плос­кость и сфера имеют ровно одну общую точку. Зна­чит, по опре­де­ле­нию, эта плос­кость и есть ка­са­тель­ная.

 Теорема о сечении плоскостью сферы

Се­че­ни­ем сферы плос­ко­стью яв­ля­ет­ся окруж­ность.

До­ка­за­тель­ство.

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству тео­ре­мы

Пусть  – центр сферы,  – пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра сферы на плос­кость . Тогда рас­смот­рим любые две точки  и , ко­то­рые при­над­ле­жат сфере и плос­ко­сти од­но­вре­мен­но (рис. 6).

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Оба они пря­мо­уголь­ные,  – общий катет, , так как  и  лежат на сфере, а зна­чит, по опре­де­ле­нию, рав­но­уда­ле­ны от цен­тра сферы. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки  и  равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе. А зна­чит, . Итак, любые две вы­бран­ные таким об­ра­зом точки  и  рав­но­уда­ле­ны от точки  и лежат с ней в одной плос­ко­сти – .

Мно­же­ство точек дан­ной плос­ко­сти, рав­но­уда­лен­ных от точки  – это окруж­ность с цен­тром в точке .

 Шаровой сегмент и шаровой слой

Ша­ро­вым сег­мен­том на­зы­ва­ет­ся часть шара, от­се­ка­е­мая от него ка­кой-ни­будь плос­ко­стью (рис. 7). Если плос­кость пе­ре­се­ка­ет шар, то она рас­се­ка­ет его на два ша­ро­вых сег­мен­та. Круг се­че­ния на­зы­ва­ют ос­но­ва­ни­ем ша­ро­во­го сег­мен­та. Рас­смот­рим ра­ди­ус шара, про­хо­дя­щий через центр круга се­че­ния. Та его часть, ко­то­рая на­хо­дит­ся внут­ри сег­мен­та, на­зы­ва­ет­ся вы­со­той этого сег­мен­та ( – вы­со­та сег­мен­та,  – ра­ди­ус сег­мен­та).

Рис. 7. Ша­ро­вой сег­мент

Рис. 8. Ша­ро­вой слой

Ша­ро­вым слоем на­зы­ва­ет­ся часть шара, за­клю­чен­ная между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми, пе­ре­се­ка­ю­щи­ми шар. По ана­ло­гии вво­дят­ся по­ня­тия ос­но­ва­ний ша­ро­во­го слоя и вы­со­ты ша­ро­во­го слоя (рис. 8).

 Шаровой сектор

Рис. 9. Ша­ро­вой сек­тор

Рас­смот­рим ша­ро­вой сег­мент и конус, ос­но­ва­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ние сег­мен­та, а вер­ши­ной – центр шара. Объ­еди­не­ние двух дан­ных фигур и на­зы­ва­ет­ся ша­ро­вым сек­то­ром (рис. 9).

 Заключение

На этом уроке мы по­зна­ко­ми­лись со вза­им­ным рас­по­ло­же­ни­ем сферы и плос­ко­сти. Вы­ви­ли три воз­мож­ные си­ту­а­ции пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти и сферы. До­ка­за­ли тео­ре­му о ка­са­тель­ной плос­ко­сти к сфере. Ввели по­ня­тия ша­ро­во­го сег­мен­та, слоя и сек­то­ра

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/vzaimnoe-polozhenie-sfery-i-ploskosti

http://www.youtube.com/watch?v=Yg57d11Fiww

http://www.youtube.com/watch?v=7IJ56SIcqnU

http://www.youtube.com/watch?v=AfPX_IvirPQ

http://www.youtube.com/watch?v=9I79IMQbBVc

https://www.youtube.com/watch?v=-m84MKbPjlY

http://stu.alnam.ru/book_ster.php?id=30

http://studopedia.ru/3_183240_kasatelnaya-ploskost-k-sfere.htmlhttp://zapartoj.my1.ru/92/28.jpg

http://v.900igr.net/zip/dd2a886cab1db3aea3d87d6c87d0c0f3.zip

Файлы