11 класс. Геометрия. Тела вращения. Сфера и шар.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Сфера и шар.

Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Комментарии преподавателя

 Определение сферы и шара

Сфера – это тело вра­ще­ния, ко­то­рое на­по­ми­на­ет окруж­ность, толь­ко не на плос­ко­сти, а в про­стран­стве. Вспом­ним, что же такое окруж­ность. Окруж­ность – это мно­же­ство всех точек плос­ко­сти, рав­но­уда­лен­ных от дан­ной точки, на­зы­ва­е­мой цен­тром (рис. 1).

Рис. 1. Окруж­ность

Рис. 2. Круг

Тогда, сфера – это мно­же­ство всех точек про­стран­ства, рав­но­уда­лен­ных от дан­ной точки, на­зы­ва­е­мой цен­тром (рис. 3).

Ра­ди­ус сферы – рас­сто­я­ние, на ко­то­рое они (точки) уда­ле­ны от цен­тра.

Рис. 3. Сфера

Рис. 4. Шар

Про­дол­жая ана­ло­гию, шар – это круг (рис. 2) в про­стран­стве: мно­же­ство всех точек, за­клю­чен­ных внут­ри сферы (плюс сама сфера).

Шар – это мно­же­ство всех точек про­стран­ства, рас­сто­я­ние от ко­то­рых до дан­ной точки, на­зы­ва­е­мой цен­тром, не пре­вос­хо­дит ра­ди­у­са (рис. 4).

 Примеры шара и сферы

Би­льярд­ный шар – шар (рис. 5);

Шарик для игры в на­столь­ный тен­нис – сфера (рис. 6);

Рис. 5. Би­льярд­ный шар

Рис. 6. Шарик для игры в на­столь­ный тен­нис

Пла­не­та Земля не яв­ля­ет­ся шаром с ма­те­ма­ти­че­ской точки зре­ния, так как она при­плюс­ну­та на по­лю­сах. Земля имеет форму эл­лип­со­и­да вра­ще­ния, или гео­и­да.

За­ме­ча­ние: сфера яв­ля­ет­ся ча­стью шара.

 Форма Земли

Рас­смот­рим по­лу­окруж­ность  с цен­тром  и диа­мет­ром  (рис. 7). Вра­щая ее во­круг диа­мет­ра , по­лу­чим сферу (рис. 8). Т. е. сфера – тело вра­ще­ния.

Рис. 7. По­лу­окруж­ность 

Рис. 8. Сфера как тело вра­ще­ния

Ана­ло­гич­но, если вра­щать не по­лу­окруж­ность, а по­лу­круг, по­лу­чим шар (рис. 9, 10).

Рис. 9. По­лу­круг 

Рис. 10. Шар как тело вра­ще­ния

 Шар и сфера как тела вращения

Хорда сферы – это от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий две точки сферы (рис. 11).

Диа­метр сферы – это хорда, ко­то­рая про­хо­дит через центр сферы (рис. 12).

Рис. 11.  – хорды

Рис. 12.  – диа­метр,  – центр

 Разветвление: уравнение сферы в координатах в пространстве

Рис. 13. Сфера с цен­тром в точке 

Вы­ве­дем урав­не­ние сферы ра­ди­у­са  с цен­тром в точке  (рис. 13).

Пусть про­из­воль­ная точка  лежит на сфере. Тогда, по опре­де­ле­нию сферы, . С дру­гой сто­ро­ны, рас­сто­я­ние между точ­ка­ми в ко­ор­ди­на­тах равно:

.

При­рав­ни­вая это к  и воз­во­дя в квад­рат, при­хо­дим к фор­му­ле, на­по­ми­на­ю­щей урав­не­ние окруж­но­сти:

.

Это и есть урав­не­ние сферы.

Со­от­вет­ствен­но, шар за­да­ет­ся не урав­не­ни­ем, а нера­вен­ством:

.

При­мер

Пусть дано урав­не­ние . Тре­бу­ет­ся до­ка­зать, что дан­ное урав­не­ние за­да­ет сферу, и найти ко­ор­ди­на­ты ее цен­тра и ра­ди­ус.

Вспом­ним общее урав­не­ние сферы:

.

Наша за­да­ча – све­сти ис­ход­ное урав­не­ние к урав­не­нию сферы. Для этого вы­де­лим пол­ные квад­ра­ты:

;

Таким об­ра­зом, это дей­стви­тель­но сфера, ее центр – точка с ко­ор­ди­на­та­ми , а ее ра­ди­ус равен .

 Площадь сферы

Фор­му­ла для на­хож­де­ния пло­ща­ди сферы вы­во­дит­ся ана­ло­гич­но фор­му­ле для на­хож­де­ния пло­ща­ди окруж­но­сти. Бе­рут­ся впи­сан­ные и опи­сан­ные -уголь­ни­ки. Устрем­ляя  к бес­ко­неч­но­сти, го­во­рим, что пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка стре­мит­ся к длине окруж­но­сти. И вы­во­дим фор­му­лу пло­ща­ди.

Ана­ло­гич­но и для сферы. Опи­шем сферу мно­го­гран­ни­ком и будем уве­ли­чи­вать ко­ли­че­ство гра­ней до бес­ко­неч­но­сти. Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка будет стре­мить­ся к пло­ща­ди по­верх­но­сти сферы.

 – пло­щадь сферы

 Пример №1

При­мер №1

Дана сфера, пло­щадь ко­то­рой равна 64π. Найти ра­ди­ус сферы.

Дано:

Так как ,  ,

По­де­лив обе части урав­не­ние на , по­лу­чим:

Ответ: ра­ди­ус сферы равен 4.

 Пример №2

Во сколь­ко раз из­ме­нит­ся пло­щадь по­верх­но­сти сферы, если ее ра­ди­ус уве­ли­чи­ли в три раза?

Так как пло­щадь сферы . Если ра­ди­ус уве­ли­чит­ся в 3 раза, тогда . Со­от­вет­ствен­но, пло­щадь уве­ли­чи­лась в 9 раз:

За­ме­ча­ние: если все из­ме­ре­ния фи­гу­ры уве­ли­чить в  раз, пло­щадь по­верх­но­сти фи­гу­ры вы­рас­тет в  раз (рис. 14).

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­ме­ча­нию

 Разветвление: задача

Пред­ста­вим себе, что Земля имеет форму шара. Пред­по­ло­жим, что ее об­тя­ну­ли ка­на­том по эк­ва­то­ру – чтобы канат плот­но при­ле­гал к по­верх­но­сти Земли (рис. 15). Затем канат удли­ни­ли на 1 м (рис. 16). Об­ра­зо­вал­ся про­свет. Может ли в этот про­свет про­лезть мышка?

Рис. 15. Земля

Рис. 16. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

Пусть ра­ди­ус зем­но­го шара – . Тогда длина ка­на­та будет После удли­не­ния длина ка­на­та стала . Но если счи­тать, что про­свет между по­верх­но­стью Земли и новым ка­на­том равен  (везде оди­на­ков), то тогда по­лу­ча­ем, что этот канат «об­хва­ты­ва­ет» шар ра­ди­у­са , а зна­чит, его длина равна .

Имеем, . Или . Так как  мень­ше 7, то .

Сле­до­ва­тель­но, в такой зазор, около 14 см, мышка точно смо­жет про­лезть.

Об­ра­тим вни­ма­ние, что по­лу­чен­ный зазор не за­ви­сит от раз­ме­ров шара, ко­то­рым об­тя­ну­та ве­рев­ка. То есть, даже если ве­рев­кой был об­тя­нут обыч­ный школь­ный гло­бус, то после ее удли­не­ния на 1 метр зазор все равно будет около 14 см.

 Заключение

На этом уроке мы по­зна­ко­ми­лись с но­вы­ми те­ла­ми вра­ще­ния, а имен­но со сфе­рой и шаром. Дали опре­де­ле­ния этих гео­мет­ри­че­ских объ­ек­тов, ука­за­ли на их от­ли­чия, а также на­зва­ли все эле­мен­ты этих тел. По­зна­ко­ми­лись с фор­му­лой пло­ща­ди сферы.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/sfera-i-shar

http://www.youtube.com/watch?v=57wWxMTBuWg

http://www.youtube.com/watch?v=neH7VFwg4cQ

http://www.calc.ru/1491.html

http://www.youtube.com/watch?v=W4hwQNYaHMc

http://sernam.ru/book_e_math.php?id=130

http://v.5klass.net/zip/2af0321ce6da59a2ada19fd4c644d4a7.zip

http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img12.jpg

https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C%20%D1%88%D0%B0%D1%80%D0%B0&img_url=http%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FCwCG7fPTuFg%2Fhqdefault.jpg&pos=142&rpt=simage&_=1450874495195

http://webfolio.meximas.com/webfolio/i/head2/12/vektor/Vektor7.jpg

http://www.xxlbook.ru/imgh1539713.png

Файлы